На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
Решение
Пусть a -- сторона квадрата, (a−5) -- ширина прямоугольника, b -- длина прямоугольника.
Так как у квадрата и у прямоугольника равны площади, то справедливо равенство
a2=(a−5)⋅b. а) Ширина равна 15, то есть a−5=15,a=20. Тогда получаем, что
400=15b,b=15400∈N,противоречие. б) Длина прямоугольника равна 36, то есть b=36. Получаем:
a2=(a−5)⋅36; a2−36a+180=0; a=6,a=30. При a=6: прямоугольник 36×1 и квадрат 6×6;
При a=30: прямоугольник 36×25 и квадрат 30×30.
в) Выразим b из уравнения a2=(a−5)⋅b и выполним преобразования:
b=a−5a2=a−5a2−25+25=a−5(a+5)(a−5)+a−525=a+5+a−525. Так как стороны фигур -- это натуральные числа, то a−525 должно быть натуральным. Значит, (a−5) должно быть делителем 25, то есть возможны 3 случая:
1) [1.] a−5=1,a=6, прямоугольник 36×1 и квадрат 6×6;
2) [2.] a−5=5,a=10, прямоугольник 20×5 и квадрат 10×10;
3) [3.] a−5=25,a=30, прямоугольник 36×25 и квадрат 30×30.
Следовательно, всего на столе могут лежать 6 фигур.
