Задачи с сюжетом — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГКР 10.12.2024

На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.

а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?

б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?

в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?

Решение

Пусть

a

-- сторона квадрата,

(a-5)

-- ширина прямоугольника,

b

-- длина прямоугольника.
Так как у квадрата и у прямоугольника равны площади, то справедливо равенство

a^2 = (a - 5) \cdot b.

а) Ширина равна 15, то есть

a - 5 =15

a = 20

. Тогда получаем, что

400 = 15b, \quad b = \dfrac{400}{15}\not \in \mathbb{N}, \ \text{противоречие}.

б) Длина прямоугольника равна 36, то есть

b = 36

. Получаем:

a^2 = (a - 5)\cdot 36;

a^2 - 36a + 180 = 0;

a = 6, \quad a = 30.

При

a = 6

: прямоугольник

36 \times 1

и квадрат

6 \times 6

;

При

a = 30

: прямоугольник

36 \times 25

и квадрат

30 \times 30

.

в) Выразим

b

из уравнения

a^2 = (a - 5) \cdot b

и выполним преобразования:

b = \dfrac{a^2}{a - 5} = \dfrac{a^2 - 25 + 25}{a - 5} = \dfrac{(a + 5)(a - 5)}{a - 5} + \dfrac{25}{a - 5} = a + 5 + \dfrac{25}{a - 5}.

Так как стороны фигур -- это натуральные числа, то

\dfrac{25}{a - 5}

должно быть натуральным. Значит,

(a - 5)

должно быть делителем 25, то есть возможны 3 случая:

1) [1.]

a - 5 = 1

a = 6

, прямоугольник

36 \times 1

и квадрат

6 \times 6

;

2) [2.]

a - 5 = 5

a = 10

, прямоугольник

20 \times 5

и квадрат

10 \times 10

;

3) [3.]

a - 5 = 25

a = 30

, прямоугольник

36 \times 25

и квадрат

30 \times 30

.

Следовательно, всего на столе могут лежать 6 фигур.

Ответ: а) нет, б) да, в) 6.

Задачи с сюжетом — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи