Задачи с сюжетом — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2026 (Основная волна)

Имеется

1000

монет, среди которых

n

монет достоинством

2

рубля и

(1000 - n)

монет достоинством

5

рублей (

n

— натуральное число,

1\leqslant n\leqslant 999

). Известно, что сумма любых

300

монет, взятых случайным образом, должна превышать четверть от общей суммы всех монет.

а) Возможно ли, что

n=100

?

б) Возможно ли, что

n=500

?

в) Сколько различных значений может принимать

n

Решение

а) Да, так как общая сумма всех монет в данном случае будет равна:

S = 2 \cdot 100 + 5 \cdot 900 = 4700

, а

\dfrac{S}{4} = 1175

.

Самая маленькая возможная сумма 300 монет будет в случае, когда взяты 100 монет по 2 рубля и 200 монет по 5 рублей,
их сумма:

200 + 1000 = 1200 > 1175.

б) Нет, так как все

300

случайных монет могут оказаться по

2

рубля, тогда их сумма:

2\cdot300=600,

общая сумма

S=2\cdot 500+5\cdot 500=3500, \quad \dfrac{S}{4}=875, \quad 600<875.

в) Найдём общую сумму монет:

S=2n+5(1000-n)=5000-3n, \quad \dfrac{S}{4}=1250-0{,}75n.

Рассмотрим случай, когда все 300 взятых монет оказались по 2 рубля, то есть их сумма равна 600:

600>1250-0{,}75n; \quad n>\dfrac{2600}{3}.

При

n\geqslant867

неравенство верно, то есть все

n\in [867; 999]

нам подходят, имеем 133 случая.
Рассмотрим случай, когда

n

не больше 300:

2n+5(300-n)>1250-0{,}75n; \quad 1500-3n>1250-0{,}75n; \quad n\leqslant111.

Заметим, что все

n

от 1 до 111 нам подходят, то есть имеем 111 случаев.
Значит, всего

n

может принимать

133+111=244

значения.

Ответ: а) да; б) нет; в) 244.

Похожие задачи