Имеется 1000 монет, среди которых n монет достоинством 2 рубля и (1000−n) монет достоинством 5 рублей (n -- натуральное число, 1⩽n⩽999). Известно, что сумма любых 300 монет, взятых случайным образом, должна превышать четверть от общей суммы всех монет.
а) Возможно ли, что n=100?
б) Возможно ли, что n=500?
в) Сколько различных значений может принимать n?
Решение
а) Да, так как общая сумма всех монет в данном случае будет равна:
S=2⋅100+5⋅900=4700, а 4S=1175.
Самая маленькая возможная сумма 300 монет будет в случае, когда взяты 100 монет по 2 рубля и 200 монет по 5 рублей,
их сумма:
200+1000=1200>1175.
б) Нет, так как все 300 случайных монет могут оказаться по 2 рубля, тогда их сумма:
2⋅300=600, общая сумма
S=2⋅500+5⋅500=3500,4S=875,600<875.
в) Найдём общую сумму монет:
S=2n+5(1000−n)=5000−3n,4S=1250−0,75n. Рассмотрим случай, когда все 300 взятых монет оказались по 2 рубля, то есть их сумма равна 600:
600>1250−0,75n;n>32600. При n⩾867 неравенство верно, то есть все n∈[867;999] нам подходят, имеем 133 случая.
Рассмотрим случай, когда n не больше 300:
2n+5(300−n)>1250−0,75n;1500−3n>1250−0,75n;n⩽111. Заметим, что все n от 1 до 111 нам подходят, то есть имеем 111 случаев.
Значит, всего n может принимать 133+111=244 значения.
