В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и C, пересекающие BC и AD в точках K и M соответственно. AK пересекает BD в точке P,CM пересекает BD в точке F. Известно, что PF=1,BC=5,AB=3.
а) Докажите, что треугольник ABD прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника KPFC.
Решение
а) Углы AKB и KAD равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK, значит, треугольник BAK -- равнобедренный и AB=BK=3.
Углы CMD и BCM равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CM, значит, треугольник CDM -- равнобедренный и CD=DM=3.
Треугольники BPK и DPA подобны по двум углам (∠BPK=∠APD,∠BKP=∠PAD), значит,
ADBK=PDBP=53, то есть
BDBP=83.
Треугольники MFD и BPK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (BK=MD,∠BKP=∠FMD,∠KBP=∠FDM, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD), значит,
FD=BP=83BD. Получаем:
PF=BD−BP−FD=BD−2⋅83BD=41BD,BD=4PF=4⋅1=4. Заметим, что
AB2+BD2=AD2(32+42=52), значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABD -- прямоугольный.
б) Треугольники ABD и BDC равны по трём сторонам (BD -- общая, AB=CD,AD=BC), значит, ∠BDC=90∘. Имеем:
SKPFC=SBDC−SBPK−SDFC. Треугольники BDC и BPK имеют общий угол B, значит,
SBCDSBPK=BD⋅BCBP⋅BK=4⋅53⋅1,5=409,⇒SBPK=409SBCD. Треугольники DFC и BDC имеют общую высоту CD, значит,
SBDCSDFC=41,5=83,⇒SDFC=83SBDC. Получаем:
SKPFC=6−409⋅6−83⋅6=6−1,35−2,25=2,4.
