Для студентов Для учителей

Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

В параллелограмме

A B C D

угол

B A C

вдвое больше угла

C A D

. Биссектриса угла

B A C

пересекает отрезок

B C

в точке

L

. На продолжении стороны

C D

за точку

D

выбрана такая точка

E

, что

A E=C E

.

а) Докажите, что

A L \cdot B C=A B \cdot A C

.

б) Найдите

E L

, если

A C=8, \operatorname{tg} \angle B C A=\dfrac{1}{2}

.

Решение

а) Докажем подобие треугольников

ABL

и

ABC

. Угол

\angle ABC

— общий. Так как

AL

— биссектриса, то

\angle BAL = \dfrac{1}{2}\angle BAC = \angle CAD.

\angle CAD = \angle BCA

как накрест лежащие углы при

BC \parallel AD

и секущей

AC

. Следовательно,

\angle BAL = \angle BCA

. Таким образом, треугольники

ABL

и

ABC

подобны по двум углам. Из подобия получаем:

\frac{AL}{AC} = \frac{AB}{BC} \quad \Rightarrow \quad AL \cdot BC = AB \cdot AC.

$Изображение 1$

б) Пусть

\angle CAD = \alpha

, тогда

\angle BAC = 2\alpha

. В пункте а) мы выяснили, что

\angle BCA = \angle CAD = \alpha

.

Так как

AE = CE

, то точка

E

лежит на серединном перпендикуляре к

AC

. Обозначим

O

— середину

AC

. Тогда

AO = OC = 4

и

EO \perp AC

.

\angle BAC = 2\alpha

и

AL

— биссектриса, поэтому

\angle LAC = \alpha

. Значит,

\angle LCA = \angle BCA = \alpha

, поэтому треугольник

ALC

равнобедренный:

AL = LC

, и точка

L

также лежит на серединном перпендикуляре к

AC

. Следовательно, точки

L, O

и

E

лежат на одной прямой, перпендикулярной

AC

.

В прямоугольном треугольнике

ALO

:

\tg \alpha = \frac{LO}{AO} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad LO = AO \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.

$Изображение 2$

Треугольник

ACE

-- равнобедренный, поэтому

\angle{CAE} = \angle{ACE} = 2\alpha.

Тогда из прямоугольного треугольника

AOE

получаем:

\tg 2\alpha = \frac{OE}{AO} = \frac{2\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad OE = AO \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}.

Значит,

EL = LO + OE = 2 + \frac{16}{3} = \frac{6}{3} + \frac{16}{3} = \frac{22}{3}.

Ответ:

\dfrac{22}{3}

.