В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.
а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC.
б) Найдите EL, если AC=8,tg∠BCA=21.
Решение
а) Докажем подобие треугольников ABL и ABC. Угол ∠ABC — общий. Так как AL — биссектриса, то
∠BAL=21∠BAC=∠CAD. ∠CAD=∠BCA как накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей AC. Следовательно, ∠BAL=∠BCA. Таким образом, треугольники ABL и ABC подобны по двум углам. Из подобия получаем:
ACAL=BCAB⇒AL⋅BC=AB⋅AC.
б) Пусть ∠CAD=α, тогда ∠BAC=2α. В пункте а) мы выяснили, что ∠BCA=∠CAD=α.
Так как AE=CE, то точка E лежит на серединном перпендикуляре к AC. Обозначим O — середину AC. Тогда AO=OC=4 и EO⊥AC.
∠BAC=2α и AL — биссектриса, поэтому ∠LAC=α. Значит, ∠LCA=∠BCA=α, поэтому треугольник ALC равнобедренный: AL=LC, и точка L также лежит на серединном перпендикуляре к AC. Следовательно, точки L,O и E лежат на одной прямой, перпендикулярной AC.
В прямоугольном треугольнике ALO: tgα=AOLO=21⇒LO=AO⋅21=4⋅21=2.
Треугольник ACE -- равнобедренный, поэтому
∠CAE=∠ACE=2α.
Тогда из прямоугольного треугольника AOE получаем:
tg2α=AOOE=1−tg2α2tgα=1−412⋅21=34⇒OE=AO⋅34=4⋅34=316.
