Вершины A,B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит на этой окружности. Её хорды BK и BM перпендикулярны прямым AD и CD соответственно.
а) Докажите, что четырёхугольник ACMK – прямоугольник.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACMK, если радиус окружности равен 2, а ∠BAD=75∘.
Решение
а) Так как BK⊥AD и AD∥BC, то BK⊥BC, то есть ∠KBC=90∘. Следовательно, CK -- диаметр окружности.
Так как BM⊥CD и AB∥CD, то AB⊥BM, то есть ∠ABM=90∘. Следовательно, AM -- диаметр окружности.
Получаем, что ∠KAC=∠AKM=∠ACM=∠CMK=90∘ как вписанные и опирающиеся на диаметр, значит, ACMK -- прямоугольник, ч.т.д.
∠ABC=180∘−∠BAD=180∘−75∘=105∘. Значит, дуга AC, не содержащая точку B, равна 2⋅105∘=210∘. Тогда дуга AC, содержащая точку B, равна 360∘−210∘=150∘.
Пусть AM∩KC=O, тогда O -- центр окружности и ∠AOC -- вписанный, опирающийся на дугу AC, то есть ∠AOC=150∘.
Найдём площадь четырёхугольника ACMK: SACMK=21KC⋅AM⋅sin∠AOC=21⋅4⋅4⋅21=4. Ответ: 4.
