Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P.
а) Докажите, что точка P принадлежит диагонали BD. б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что AB=17,BP=4 и BC=25.
Решение
а) Пусть AC и BD пересекаются в точке O, по свойству параллелограмма: O -- середина AC. Рассмотрим △ABC:AM,CK -- медианы, слдеовательно, P -- точка пересечения медиан △ABC. Так как O -- середина AC, то BO -- медиана.
Таким образом, BO,AM,CK -- медианы △ABC, следовательно, пересекаются в одной точке P. То есть P лежит на отрезке BO. Что и требовалось доказать.
б) Так как P -- точка пересечения медиан △ABC, то POBP=12⇒OP=21BP=2;
BD=2BO=12.
Пусть p=2AB+BD+AD=217+12+25=27. Тогда
по формуле Герона для △ABD: SABD=p(p−AB)(p−AD)(p−BD)=27⋅10⋅2⋅15=8100=90. Таким образом,
SABCD=2SABD=2⋅90=180.
