На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что
AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит
на диагонали AC.
б)Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если
AB=6,BC=24,∠BAD=60∘.
Решение
a)
Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения его биссектрис. Значит, нужно доказать, что AC - биссектриса.
По условию AM=MC, тогда △AMC - равнобедренный и его углы при основании равны: ∠MAC=∠MCA.
ABCD - параллелограмм, BC параллельно AD, тогда ∠CAD=∠MCA как накрест лежащие.
Получили, что ∠MAC=∠CAD, тогда AC - биссектриса. Что и требовалось доказать.
б)
Для нахождения радиуса вписанной в △AMD окружности воспользуемся формулой:
r=p△AMDS△AMD.
Найдём S△AMD. Для этого достроим MN∥AB∥CD и заметим, что S△AMD равна половине SABCD:
Действительно, AM и MD - диагонали параллелограммов ABMN и NMCD соответственно, а значит, делят их на равные треугольники. Получаем, что
S△AMD=21SABCD. Тогда
r=21(AD+AM+MD)21SABCD=(AD+AM+MD)SABCD=AD+AM+MDAB⋅AD⋅sin∠BAD.
Найдём AM и MD по теореме косинусов:
△ABM:x2=36+(24−x)2−2⋅6⋅(24−x)⋅(−21); x2=36+576−48x+x2+144−6x; 54x=756; x=14. △MCD:MD2=36+196−2⋅6⋅14⋅21; MD2=148; MD=237. Подставляем известные значения в формулу:
r=AD+AM+MDAB⋅AD⋅sin∠BAD=24+14+2376⋅24⋅23=24+14+237723=19+37363.
