Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 03.10.2023

На стороне

BC

параллелограмма

ABCD

выбрана такая точка

M

, что

AM=MC

.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник

AMD

окружности лежит
на диагонали

AC

.

б)Найдите радиус вписанной в треугольник

AMD

окружности, если

AB=6

BC=24

\angle BAD=60^\circ

Решение

a)
Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис. Значит, нужно доказать, что

AC

- биссектриса.

По условию

AM = MC

, тогда

\triangle AMC

— равнобедренный и его углы при основании равны:

\angle MAC = \angle MCA

ABCD

— параллелограмм,

BC

параллельно

AD

, тогда

\angle CAD = \angle MCA

как накрест лежащие.

Получили, что

\angle MAC = \angle CAD

, тогда

AC

— биссектриса. Что и требовалось доказать.

б)
Для нахождения радиуса вписанной в

\triangle AMD

окружности воспользуемся формулой:

r = \frac{S_{\triangle AMD}}{p_{\triangle AMD}}.

Найдём

S_{\triangle AMD}

. Для этого достроим

MN \parallel AB \parallel CD

и заметим, что

S_{\triangle AMD}

равна половине

S_{ ABCD}

Действительно,

AM

MD

— диагонали параллелограммов

ABMN

NMCD

соответственно, а значит, делят их на равные треугольники. Получаем, что

S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2}S_{ ABCD}.

Тогда

r = \frac{\frac{1}{2}S_{ABCD}}{\frac{1}{2}(AD+AM+MD)} = \frac{S_{ABCD}}{(AD+AM+MD)} = \frac{AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD}{AD+AM+MD}.

Найдём

AM

MD

по теореме косинусов:

\triangle ABM: \quad x^2 = 36 + (24-x)^2 - 2 \cdot 6 \cdot (24-x) \cdot (-\frac{1}{2});

x^2 = 36 + 576 -48x + x^2 + 144 - 6x;

54x = 756;

x = 14.

\triangle MCD: \quad MD^2 = 36+196-2\cdot6\cdot14\cdot\frac{1}{2};

MD^2 = 148;

MD = 2\sqrt{37}.

Подставляем известные значения в формулу:

r = \frac{AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD}{AD+AM+MD} = \frac{6\cdot24\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{24+14+2\sqrt{37}} = \frac{72\sqrt3}{24+14+2\sqrt{37}} = \frac{36\sqrt3}{19+\sqrt{37}}.

Ответ:

\dfrac{36\sqrt3}{19+\sqrt{37}}

Похожие задачи