Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГКР 14.12.2023

В параллелограмме

ABCD

со сторонами

AD = 12

AB = 4

и углом

A

, равным

30^{\circ}

, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, —прямоугольник.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение

а) Пусть биссектрисы углов

1)

A

B

пересекаются в точке

K

,
2)

B

C

пересекаются в точке

L

,
3)

C

D

пересекаются в точке

M

,
4)

A

D

пересекаются в точке

N

.

Далее, пусть

BK \cap AD = R

LM \cap AD = Q

AK\cap BC = P

DM\cap BC = T

.

В треугольнике

BAK

имеем

\angle{BAK} = 15^{\circ}

\angle{ABK} = 75^{\circ}

, значит,

\angle{BKA} = 90^{\circ}

, то есть

AK \perp BK

.

В треугольнике

CDM

имеем

\angle{DCM} = 15^{\circ}

\angle{CDM} = 75^{\circ}

, значит,

\angle{DMC} = 90^{\circ}

, то есть

CM \perp MD

\angle{BKA} = \angle{LKN} = 90^{\circ}

\angle{CMD} = \angle{NML} = 90^{\circ}

как вертикальные.

\angle{RBC} = \angle{ARB}

, как накрест лежащие при параллельных прямых

BC

AD

и секущей

BR

, значит, треугольник

BAR

— равнобедренный и

AB = AR = 4

\angle{CTD} = \angle{TDA}

, как накрест лежащие при параллельных прямых

BC

AD

и секущей

TD

, значит, треугольник

CTD

— равнобедренный и

CT = CD = 4

\angle{ARK} = \angle{LRQ} = 75^{\circ}

\angle{MTC} = \angle{NTP} = 75^{\circ}

как вертикальные.

Из треугольников

RLQ

PNT

получаем:

\angle{RLQ} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 15^{\circ} = 90^{\circ};

\angle{PNT} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 15^{\circ} = 90^{\circ}.

Значит,

KLMN

— прямоугольник.

б) Из треугольника

ABP

получаем:

\angle{BPA} = 180^{\circ} - 150^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ},

значит, треугольник

BPA

— равнобедренный и

AB = BP = 4

. Тогда

PT = BC - BP - CT = 12 - 4 - 4 = 4.

Из треугольника

CQD

получаем:

\angle{CQD} = 180^{\circ} - 150^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ},

значит, треугольник

CDQ

— равнобедренный и

DQ = DC = 4

. Тогда

RQ = AD - AR - DQ = 12 - 4 - 4 = 4.

Отсюда получаем, что треугольники

BKP

RLQ

PNT

DQM

ABK

AKR

MTC

DMC

равны по гипотенузе и острому углу, значит,

BK = KR = TM = TN;

PN = KP = LQ = QM.

Из треугольника

RLQ

получаем:

LQ = RQ\cdot \sin{75^{\circ}},\quad RL = RQ\cdot\cos{75^{\circ}}.

Итого,

S_{KLMN} = 2LQ\cdot 2RL = 4\cdot RQ^2\cdot \sin{75^{\circ}}\cdot \cos{75^{\circ}} = 2\cdot 4^2 \cdot \sin{150^{\circ}} = 16.

Ответ:

16

Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи