В параллелограмме ABCD со сторонами AD=12,AB=4 и углом A, равным 30∘, проведены биссектрисы всех четырёх углов.
а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, -- прямоугольник.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.
Решение
а) Пусть биссектрисы углов
1) A и B пересекаются в точке K, 2) B и C пересекаются в точке L, 3) C и D пересекаются в точке M, 4) A и D пересекаются в точке N.
Далее, пусть BK∩AD=R,LM∩AD=Q,AK∩BC=P и DM∩BC=T.
В треугольнике BAK имеем ∠BAK=15∘ и ∠ABK=75∘, значит, ∠BKA=90∘, то есть AK⊥BK.
В треугольнике CDM имеем ∠DCM=15∘ и ∠CDM=75∘, значит, ∠DMC=90∘, то есть CM⊥MD.
∠BKA=∠LKN=90∘,∠CMD=∠NML=90∘ как вертикальные.
∠RBC=∠ARB, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BR, значит, треугольник BAR -- равнобедренный и AB=AR=4.
∠CTD=∠TDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей TD, значит, треугольник CTD -- равнобедренный и CT=CD=4.
∠ARK=∠LRQ=75∘,∠MTC=∠NTP=75∘ как вертикальные.
Из треугольников RLQ и PNT получаем:
∠RLQ=180∘−75∘−15∘=90∘; ∠PNT=180∘−75∘−15∘=90∘. Значит, KLMN -- прямоугольник.
б) Из треугольника ABP получаем:
∠BPA=180∘−150∘−15∘=15∘, значит, треугольник BPA -- равнобедренный и AB=BP=4. Тогда
PT=BC−BP−CT=12−4−4=4.
Из треугольника CQD получаем:
∠CQD=180∘−150∘−15∘=15∘, значит, треугольник CDQ -- равнобедренный и DQ=DC=4. Тогда
RQ=AD−AR−DQ=12−4−4=4.
Отсюда получаем, что треугольники BKP,RLQ,PNT,DQM,ABK,AKR,MTC и DMC равны по гипотенузе и острому углу, значит,
BK=KR=TM=TN; PN=KP=LQ=QM. Из треугольника RLQ получаем:
LQ=RQ⋅sin75∘,RL=RQ⋅cos75∘. Итого,
SKLMN=2LQ⋅2RL=4⋅RQ2⋅sin75∘⋅cos75∘=2⋅42⋅sin150∘=16. Ответ: 16.
