Дробно-рациональные функции с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{\left|x\right| - 1}{\left|x\right| - x^{2}}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

не имеет с графиком общих точек.

Решение

Функция содержит модуль. Рассмотрим два случая.

Случай

1

x>0

, тогда

|x|=x

. Разложим знаменатель на множители, вынесем минус в числителе и сократим общую скобку:

y=\dfrac{x-1}{x-x^{2}}=\dfrac{x-1}{x(1-x)}=\dfrac{-(1-x)}{x(1-x)}=-\dfrac{1}{x}, \qquad x\neq 1.

Случай

2

x<0

, тогда

|x|=-x

. Снова разложим знаменатель на множители и сократим общую скобку:

y=\dfrac{-x-1}{-x-x^{2}}=\dfrac{-(x+1)}{-x(1+x)}=\dfrac{1+x}{x(1+x)}=\dfrac{1}{x}, \qquad x\neq -1.

Таким образом:

y=\begin{cases}- \dfrac{1}{x}, & x>0,\ x\neq 1,\\[6pt]\dfrac{1}{x}, & x<0,\ x\neq -1.\end{cases}

Найдём координаты выколотых точек. Для положительной запрещённой абсциссы используем правую ветвь, а для отрицательной — левую:

y(1)=-\dfrac{1}{1}=-1,

y(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1.

Следовательно, выколотые точки:

(1; -1)

(-1; -1)

.

Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).
Таблица значений для правой ветви:

Таблица значений для левой ветви:

График функции:

Прямая

y=kx

не имеет общих точек с графиком, если совпадает с горизонтальной асимптотой (

k=0

), либо если её единственная точка пересечения с соответствующей ветвью является выколотой.

Подставим координаты выколотой точки

(1; -1)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-1=k\cdot 1;\qquad k=-1.

Подставим координаты второй выколотой точки

(-1; -1)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-1=k\cdot\left(-1\right);\qquad k=1.

График для анализа значений параметра:

Прямая не имеет с графиком общих точек при

k \in \{-1\} \cup\{0\} \cup\{1\}

Похожие задачи