Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}=0

, откуда

x=\pm 3{,}5

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-3{,}5;0)\cup[3{,}5;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right)=\dfrac{x}{3{,}5}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-3{,}5)\cup(0;3{,}5)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right)=\dfrac{3{,}5}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{3{,}5}, & x\in [-3{,}5;0)\cup[3{,}5;+\infty),\\[8pt]\dfrac{3{,}5}{x}, & x\in (-\infty;-3{,}5)\cup(0;3{,}5).\end{cases}

В точках

x=\pm 3{,}5

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-3{,}5; -1)

(3{,}5; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{3{,}5}

x

-3{,}5

-2

-1

3{,}5

7

10{,}5

y

-1

\frac{-4}{7}

\frac{-2}{7}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{3{,}5}{x}

x

-7

-3{,}5

1

2

3{,}5

y

-0{,}5

-1

3{,}5

1{,}75

1

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.5_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.5_param.svg

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}=0

, откуда

x=\pm 3{,}5

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-3{,}5;0)\cup[3{,}5;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right)=\dfrac{x}{3{,}5}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-3{,}5)\cup(0;3{,}5)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right)=\dfrac{3{,}5}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{3{,}5}, & x\in [-3{,}5;0)\cup[3{,}5;+\infty),\\[8pt]\dfrac{3{,}5}{x}, & x\in (-\infty;-3{,}5)\cup(0;3{,}5).\end{cases}

В точках

x=\pm 3{,}5

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-3{,}5; -1)

(3{,}5; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{3{,}5}

x

-3{,}5

-2

-1

3{,}5

7

10{,}5

y

-1

\frac{-4}{7}

\frac{-2}{7}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{3{,}5}{x}

x

-7

-3{,}5

1

2

3{,}5

y

-0{,}5

-1

3{,}5

1{,}75

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: