Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}=0

, откуда

x=\pm 3

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-3;0)\cup[3;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{x}{3}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-3)\cup(0;3)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{3}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{3}, & x\in [-3;0)\cup[3;+\infty),\\[8pt]\dfrac{3}{x}, & x\in (-\infty;-3)\cup(0;3).\end{cases}

В точках

x=\pm 3

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-3; -1)

(3; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{3}

x

-3

-2

-1

3

6

9

y

-1

\frac{-2}{3}

\frac{-1}{3}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{3}{x}

x

-6

-3

1

2

3

y

-0{,}5

-1

3

1{,}5

1

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.4_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.4_param.svg

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}=0

, откуда

x=\pm 3

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-3;0)\cup[3;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{x}{3}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-3)\cup(0;3)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{3}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{3}, & x\in [-3;0)\cup[3;+\infty),\\[8pt]\dfrac{3}{x}, & x\in (-\infty;-3)\cup(0;3).\end{cases}

В точках

x=\pm 3

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-3; -1)

(3; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{3}

x

-3

-2

-1

3

6

9

y

-1

\frac{-2}{3}

\frac{-1}{3}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{3}{x}

x

-6

-3

1

2

3

y

-0{,}5

-1

3

1{,}5

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: