Дробно-рациональные функции с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Найдём нули подмодульного выражения и промежутки постоянного знака. Приведём выражение к общему знаменателю:

\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}=\dfrac{x^{2}-3^{2}}{3x}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{3x}.

Критические точки:

x=-3

x=0

x=3

. Точка

x=0

не входит в область определения. Отметим знаки выражения на координатной прямой:

Следовательно, подмодульное выражение неотрицательно при

x\in[-3;0)\cup[3;+\infty)

и отрицательно при

x\in(-\infty;-3)\cup(0;3)

.

Случай

1

x\in [-3;0)\cup[3;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{x}{3}.

Случай

2

x\in (-\infty;-3)\cup(0;3)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)=\dfrac{3}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{3}, & x\in [-3;0)\cup[3;+\infty),\\[8pt]\dfrac{3}{x}, & x\in (-\infty;-3)\cup(0;3).\end{cases}

В точках

x=\pm 3

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-3; -1)

(3; 1)

принадлежат графику.
В таблице гиперболического выражения граничные значения приводятся только для проверки стыковки; сами граничные точки принадлежат линейным участкам.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{3}

Таблица значений для

y=\dfrac{3}{x}

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

m \in \{-1\} \cup\{1\}

Дробно-рациональные функции с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи