Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right|+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}=0

, откуда

x=\pm 2

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-2;0)\cup[2;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{x}{2}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-2)\cup(0;2)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{2}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{2}, & x\in [-2;0)\cup[2;+\infty),\\[8pt]\dfrac{2}{x}, & x\in (-\infty;-2)\cup(0;2).\end{cases}

В точках

x=\pm 2

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-2; -1)

(2; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{2}

x

-2

-1

2

4

6

y

-1

-0{,}5

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{2}{x}

x

-4

-2

1

2

y

-0{,}5

-1

2

1

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.3_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.3_param.svg

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right|+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}=0

, откуда

x=\pm 2

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-2;0)\cup[2;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{x}{2}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-2)\cup(0;2)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{2}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{2}, & x\in [-2;0)\cup[2;+\infty),\\[8pt]\dfrac{2}{x}, & x\in (-\infty;-2)\cup(0;2).\end{cases}

В точках

x=\pm 2

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-2; -1)

(2; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{2}

x

-2

-1

2

4

6

y

-1

-0{,}5

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{2}{x}

x

-4

-2

1

2

y

-0{,}5

-1

2

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: