Дробно-рациональные функции с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}\right|+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Найдём нули подмодульного выражения и промежутки постоянного знака. Приведём выражение к общему знаменателю:

\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^{2}-4^{2}}{4x}=\dfrac{(x-4)(x+4)}{4x}.

Критические точки:

x=-4

x=0

x=4

. Точка

x=0

не входит в область определения. Отметим знаки выражения на координатной прямой:

Следовательно, подмодульное выражение неотрицательно при

x\in[-4;0)\cup[4;+\infty)

и отрицательно при

x\in(-\infty;-4)\cup(0;4)

.

Случай

1

x\in [-4;0)\cup[4;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{x}{4}.

Случай

2

x\in (-\infty;-4)\cup(0;4)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{4}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{4}, & x\in [-4;0)\cup[4;+\infty),\\[8pt]\dfrac{4}{x}, & x\in (-\infty;-4)\cup(0;4).\end{cases}

В точках

x=\pm 4

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-4; -1)

(4; 1)

принадлежат графику.
В таблице гиперболического выражения граничные значения приводятся только для проверки стыковки; сами граничные точки принадлежат линейным участкам.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{4}

Таблица значений для

y=\dfrac{4}{x}

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

m \in \{-1\} \cup\{1\}

Дробно-рациональные функции с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи