Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}\right|+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}=0

, откуда

x=\pm 4

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-4;0)\cup[4;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{x}{4}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-4)\cup(0;4)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{4}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{4}, & x\in [-4;0)\cup[4;+\infty),\\[8pt]\dfrac{4}{x}, & x\in (-\infty;-4)\cup(0;4).\end{cases}

В точках

x=\pm 4

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-4; -1)

(4; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{4}

x

-4

-2

-1

4

8

12

y

-1

-0{,}5

-0{,}25

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{4}{x}

x

-8

-4

1

2

4

y

-0{,}5

-1

4

2

1

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.6_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.6_param.svg

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}\right|+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}=0

, откуда

x=\pm 4

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-4;0)\cup[4;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{x}{4}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-4)\cup(0;4)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{4}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{4}, & x\in [-4;0)\cup[4;+\infty),\\[8pt]\dfrac{4}{x}, & x\in (-\infty;-4)\cup(0;4).\end{cases}

В точках

x=\pm 4

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-4; -1)

(4; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{4}

x

-4

-2

-1

4

8

12

y

-1

-0{,}5

-0{,}25

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{4}{x}

x

-8

-4

1

2

4

y

-0{,}5

-1

4

2

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: