Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}\right|+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}=0

, откуда

x=\pm 6

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-6;0)\cup[6;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)=\dfrac{x}{6}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-6)\cup(0;6)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)=\dfrac{6}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{6}, & x\in [-6;0)\cup[6;+\infty),\\[8pt]\dfrac{6}{x}, & x\in (-\infty;-6)\cup(0;6).\end{cases}

В точках

x=\pm 6

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-6; -1)

(6; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{6}

x

-6

-2

-1

6

12

18

y

-1

\frac{-1}{3}

\frac{-1}{6}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{6}{x}

x

-12

-6

1

2

6

y

-0{,}5

-1

6

3

1

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.8_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.8_param.svg

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}\right|+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}=0

, откуда

x=\pm 6

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-6;0)\cup[6;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)=\dfrac{x}{6}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-6)\cup(0;6)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)=\dfrac{6}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{6}, & x\in [-6;0)\cup[6;+\infty),\\[8pt]\dfrac{6}{x}, & x\in (-\infty;-6)\cup(0;6).\end{cases}

В точках

x=\pm 6

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-6; -1)

(6; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{6}

x

-6

-2

-1

6

12

18

y

-1

\frac{-1}{3}

\frac{-1}{6}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{6}{x}

x

-12

-6

1

2

6

y

-0{,}5

-1

6

3

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: