Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

УравненияЕГЭ 2023
а) Решите уравнение 2sin⁡2xcos⁡x+3cos⁡2x=3.2\sin^2{x}\cos{x}+\sqrt{3}\cos^2{x}=\sqrt{3}.2sin2xcosx+3​cos2x=3​.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π2;4π]\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right][25π​;4π].

Решение

а) Преобразуем уравнение: 2sin⁡2xcos⁡x−3+3cos⁡2x=0;2\sin^2{x}\cos{x}- \sqrt{3} +\sqrt{3}\cos^2{x}=0;2sin2xcosx−3​+3​cos2x=0; 2sin⁡2xcos⁡x−3(1−cos⁡2x)=0.2\sin^2{x}\cos{x}- \sqrt{3}(1-\cos^2{x})=0.2sin2xcosx−3​(1−cos2x)=0.
По основному тригонометрическому тождеству: 1−cos⁡2x=sin⁡2x.1-\cos^2 x = \sin ^2x.1−cos2x=sin2x.
Тогда уравнение принимает следующий вид: 2sin⁡2xcos⁡x−3sin⁡2x=0;2\sin^2x \cos x - \sqrt{3}\sin^2x = 0;2sin2xcosx−3​sin2x=0; sin⁡2x(2cos⁡x−3)=0.\sin^2x (2\cos x -\sqrt{3}) = 0.sin2x(2cosx−3​)=0.
Получаем:
[sin⁡x=0, cos⁡x=32.⇔[x=πk, x=±π6+2πk,k∈Z.\left[
\begin{gathered}
\sin x =0, \ \\
\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x = \pi k, \ \\
x = \pm \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.
\end{gathered}
\right.​sinx=0, cosx=23​​.​⇔​x=πk, x=±6π​+2πk,k∈Z.​
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [5π2;4π]\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right][25π​;4π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
Изображение 1

На отрезок попали следующие корни:
3π, 23π6, 4π.3\pi, \ \dfrac{23\pi}{6}, \ 4\pi.3π, 623π​, 4π.

Ответ: а) {πk,  ±π6+2πk,  k∈Z}\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\}{πk,±6π​+2πk,k∈Z}; \ б) 3π,  23π6,  4π.3\pi,\,\, \dfrac{23\pi}{6},\,\ 4\pi.3π,623π​, 4π.