Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x.

Получаем:

2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1;

\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3} \sin 2x - 1;

\cos 2x - \cos x = -1.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

2\cos^2 x - 1 - \cos x = -1;

2\cos^2 x - \cos x = 0;

\cos x (2\cos x - 1) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ 2\cos x - 1 = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ \cos x = \dfrac{1}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\\[2mm] x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.\\ \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{5\pi}{2},\ \frac{7\pi}{2}, \ \frac{11\pi}{3}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{2}, \ \dfrac{11\pi}{3}

Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи