Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{a^2 + x^2} = \cos 2x + a^2 + 2a - 1

имеет единственное решение.

Решение

Заметим, что

y = \sqrt{a^2+x^2}

y = \cos 2x

— чётные функции,
значит, если

x_0

— корень уравнения, то и

-x_0

— корень.
Для того, чтобы корень был единственным, нужно чтобы

x_0 = -x_0

, то есть

x_0 = 0

.
Найдём при каких

a

является корнем уравнения

x=0

\begin{gathered}\sqrt{a^2+0^2} = \cos (2\cdot 0) + a^2 + 2a - 1; \\\sqrt{a^2} = 1 + a^2 + 2a - 1; \\|a| = a^2 + 2a.\end{gathered}

Если

a \ge 0

, то

|a|=a

, тогда

a=a^2+2a

a^2+a=0

a(a+1)=0

a=0

a=-1

.

С учётом

a \ge 0

получаем

a=0

.

Если

a < 0

, то

|a|=-a

, тогда

-a=a^2+2a

a^2+3a=0

a=0

или

a=-3

.

С учётом

a < 0

получаем

a=-3

.

Итак, при

a=0

и при

a=-3

корнем уравнения является

x=0

. Проверим, единственный ли это корень.
I.

a = 0

\sqrt{0^2+x^2} = \cos 2x + 0^2 + 2 \cdot 0 - 1; \\|x| = \cos 2x - 1;\\|x| + 1 = \cos 2x.

Левая часть полученного уравнения не меньше 1,
а правая принимает значения из отрезка

[-1; 1]

. Равны они могут быть только если обе части равны 1.
Получим

\begin{cases}|x|+1=1, \\ \cos 2x=1; \end{cases} \ \begin{cases} x=0, \\ \cos (2\cdot 0)=1, \end{cases}

x=0

— единственное решение,

a=0

подходит.

II.

a = -3

\sqrt{(-3)^2+x^2} = \cos 2x + (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 1, \\\sqrt{x^2+9} = \cos 2x + 2.

\sqrt{x^2+9} \ge 3, \ \cos 2x + 2 \in [1; 3],

следовательно, равенство возможно только если обе части одновременно равны 3.
Получим:

\begin{cases} \sqrt{x^2+9} = 3, \\ \cos 2x + 2 = 3; \end{cases} \begin{cases} x^2+9=9, \\ \cos 2x = 1; \end{cases} \begin{cases} x=0, \\ \cos (2 \cdot 0) = 1, \end{cases}

x=0

— единственный корень, значит

a=-3

подходит.

Ответ:

a\in \{-3;0\}

Похожие задачи