5 Физический смысл производной

Физический смысл производной

Теория

Если материальная точка движется прямолинейно вдоль некоторой оси \(x\) и ее координата вдоль этой оси изменяется по закону \(x(t)\), то скоростью материальной точки в момент времени \(t_0\) мы будем считать значение производной \(x'(t)\) при \(t=t_0\):

\[v(t) = x'(t).\]

Задачи

Часть 1. Ищем скорость материальной точки в момент времени \(t=t_0\)

\(\blacktriangleright\) Пример 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону

\[x(t) = 6t^2 - 48t + 17,\]

(где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 9\).

Решение

Скорость материальной точки \(v(t)\) в момент времени \(t=9\) это значение производной \(x'(t)\) при \(t=9\):

\[v(t) = x'(t)= (6t^2 - 48t + 17)' = 12t - 48;\]
\[v(9) = 12\cdot 9 - 48 = 60\ м/с\]

\(\blacktriangleright\) Пример 2

Материальная точка движется прямолинейно по закону

\[x(t)=\dfrac{1}{2}t^3-3t^2+2t,\]

(где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в момент времени \(t=6\) с.

Решение

Скорость материальной точки \(v(t)\) в момент времени \(t=6\) это значение производной \(x'(t)\) при \(t=6\):

\[v(t) = x'(t) = \left( \dfrac{1}{2}t^3-3t^2+2t \right)'= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2-3\cdot 2 \cdot t+2 = \dfrac{3}{2}t^2-6t+2;\]
\[v(6)=\dfrac{3}{2}\cdot6^2-6\cdot6+2=20\ м/с.\]

Задача 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=6t^2-48t+17\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t=9\) с.

Задача 2

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=\dfrac{1}{2} t^3-3t^2+2t\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t=6\) с.

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задача 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=-t^4+6t^3+5t+23\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t=3\) с.

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Часть 2. Ищем момент времени \(t=t_0\) в который скорость материальной точки \(v(t)=v_0\)

\(\blacktriangleright\) Пример

Материальная точка движется прямолинейно по закону

\[x(t)=\dfrac{1}{3}t^3-3t^2-5t+3,\]

(где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения). движения). В какой момент времени ее скорость была равна 2 м/с?

Решение

Скорость материальной точки \(v(t)\) в момент времени \(t=t_0\) это значение производной \(x'(t)\) при \(t=t_0\):

\[v(t)=x'(t)= \left(\dfrac{1}{3}t^3-3t^2-5t+3\right)' =\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot {t}^2 - 3\cdot2\cdot t-5= t^2 - 6t - 5.\]

Нас интересует момент \(t_0\), когда \(v(t_0) = 2\). Тогда:

\[{t_0}^2 -6 t_0-5=2 \Leftrightarrow t_0^2-6t_0-7=0\]

Решим это квадратное уравнение:

\[D=6^2-4\cdot(-7)=64=8^2\]
\[\left[ \begin{array}{ll} t_{0}=\dfrac{6 + 8}{2} = 7, \\ \\ t_{0}=\dfrac{6 - 8}{2} = -1. \\ \end{array} \right.\]

Ввиду того, что \(t_0\) – время, оно не может быть отрицательным, поэтому искомое время 7 секунд.

Задача 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=t^2-13t+23\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна \(3\) м/с?

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задача 2

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=\dfrac{1}{3}t^3-3t^2-5t+3\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задача 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=t^{3}-9 t^{2}+2 t+30\) (где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени ее скорость была равна 50 м/с?

Физический смысл производной

Часть 1

  1. — 60;

  2. — 20;

  3. — 59.

Часть 2

  1. — 8;

  2. — 7;

  3. — 8.