4 Точки экстремума. Точки минимума и точки максимума

Точки экстремума. Точки минимума и точки максимума

Теория

Важное замечание. В этом разделе мы считаем, что функции, с которыми мы имеем дело, имеют производную во всех точках интервала, на котором они определены. В задаче 8 профильного ЕГЭ мы будем иметь дело только с такими функциями.

Определения:

Точки, в которых производная $f'(x)$ равна 0 или не существует, называются критическими точками функции $f(x)$ .

Экстремум функции $-$ минимум или максимум этой функции.

Точка экстремума $x_0$ $-$ точка, в которой функция достигает минимума или максимума.

Кстати, значение функции определяется по координате $y$ , а точка экстремума по

координате $x$ .

Важное замечание. Значение в точке минимума может быть больше, чем значение в точке максимума.

Необходимое условие экстремума:

Если $x_0$ $-$ точка экстремума функции $f(x)\Rightarrow f'(x)=0$

То есть, во всех точках, где $f(x)$ достигает локального $\min/\max$ , производная равна 0.

Достаточное условие экстремума:

Пусть $x_0$ $-$ точка в которой $f'(x)=0$ .

Если производная при переходе через точку $x_0$ меняет свой знак с плюса на минус, то $x_0$ $-$ точка максимума.

Если производная при переходе через точку $x_0$ меняет свой знак с минуса на плюс, то $x_0$ $-$ точка минимума.

Задачи

Часть 1

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-8; 5)$ . В какой точке отрезка $[0; 4]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

Решение

Заметим, что нам дан график именно производной $y=f'(x)$ . На промежутках убывания дифференцируемой функции $f(x)$ ее производная неположительна (на промежутках возрастания соответственно неотрицательна).

Для начала отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи:

Заметим, что на этом отрезке производная функции положительна (график находится выше оси $Ox$ ).

Значит, сама функция $f(x)$ возрастает, а значит, чем больше значение $x$ , тем больше значение функции $f(x)$ .

Поэтому наименьшее значение на этом отрезке она принимает в левом конце отрезка, то есть в точке 0.

Ответ: 0.

Задача 1

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-8;3)$ . В какой точке отрезка $[-3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-8;4)$ . В какой точке отрезка $[-7;-3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Часть 2

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-3; 8)$ . Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[-2; 7]$ .

Решение

В точке максимума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек, в которых производная равна 0 и которые принадлежат отрезку $[-2; 7]$ – три: $-1,5;\ 4,5;\ 6,5$ . При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна – это точка минимума.

В точках $-1,5$ и 6,5 производная меняет знак с «+» на « $-$ » – это точки максимума.

Ответ: 2.

Задача 1

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-7;14)$ . Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[-6;9]$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-18;6)$ . Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[-13;1]$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-4;8)$ . Найдите точку экстремума функции $f(x)$ , принадлежащую отрезку $[-2;6]$ .

Часть 3

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график функции $y= f(x)$ , определенной на интервале $(-8; 3)$ . Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

Решение

В школьном курсе возможны три различные $\textquotedbl$ картинки $\textquotedbl$ , которые соответствуют фразе "в точке $x_0$ производная функции $f(x)$ равна 0".

Третий вариант в задачах №8 профильного ЕГЭ по математике не встречается, поэтому отметим на рисунке все места, где встречаются первые два варианта, и сосчитаем их количество.

Производная функции в точке $x_0$ равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой $x_0$ , горизонтальна. Отсюда следует, что можно приложить линейку и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной. Таких точек у нас 5. На рисунке они выделены синим. Ответ: 5

Задача 1

На рисунке изображен график функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-3;9)$ . Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

Задача 2

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-3;9)$ . Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на отрезке $[0;8]$ .

Часть 4

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ - производной функции $f(x)$ . На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8,\, x_9$ . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$ ?

Решение

Нам дан график производной. Нас интересуют точки на промежутках возрастания. В этих точках производная функции положительна. Значит, график производной находится выше оси $Ox$ . Выделим промежутки, где график производной $y=f'(x)$ находится выше оси.

Видим, что точки $x_1,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7$ лежат в выделенных промежутках.

Значит ответ: 5 точек.

Задача 1

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ . На оси абсцисс отмечены восемь точек: $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8$ . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f(x)$ ?

Задача 2

Задача 3

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ . На оси абсцисс отмечены десять точек: $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8,\,x_9,\, x_{10}$ . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции $f(x)$ ?

Точки экстремума. Точки минимума и тоски максимума

Часть 1

— $-3$ ;
— $-7$ .

Часть 2

— 1;
— 1;
— 5;
— 4.

Часть 3

— 5;
— 3.

Часть 4

— 3;
— 5;
— 4;