1 Производная и касательная к графику

Производная и касательная к графику

Теория

Угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс всегда – правый верхний угол.

Если этот угол острый $-$ коэффициент $k$ положительный, если угол тупой $-$ коэффициент $k$ отрицательный.

$f'(x_0)=k=\tan\alpha$

$y=kx+b$ $-$ уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ с абсциссой в точке $x_0$ .

$\alpha$ $-$ угол между касательной и

положительным направлением оси $x$ .

Знак коэффициента $k$ касательной можно отслеживать по возрастанию и убыванию функции.

Если в окрестности точки $x_0$ функция $f(x)$ возрастает, то $f'(x_0)\geqslant 0$ , а значит, у касательной коэффициент $k\geqslant 0$ .

Верно и обратное.

Если коэффициент $k$ касательной в точке $x_0$ больше $0$ , то $f(x)$ возрастает в окрестности точки с абсциссой $x_0$

Если в окрестности точки $x_0$ функция $f(x)$ убывает, то $f'(x_0)\leqslant 0$ , а значит, у касательной коэффициент $k\leqslant 0$ .

Верно и обратное.

Если коэффициент $k$ касательной в точке $x_0$ меньше $0$ , то $f(x)$ убывает в окрестности точки с абсциссой $x_0$

Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ достигает локального минимума или локального максимума, то касательная к графику функции в точке $x_0$ горизонтальна.

Итак, мы выяснили, что для того чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ , полезно уметь находить коэффициент $k$ в уравнении касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ . Снова обратимся к теории.

Прямая на плоскости задается уравнением ${y=kx+b}$ , где $k$ — угловой коэффициент прямой, $b$ — это ордината точки пересечения прямой и оси $y$ .

Как коэффициенты $k$ и $b$ влияют на расположение прямых.

Найдем коэффициент $k$ в том случае, когда $k>0$ . Он равен тангенсу угла $\alpha$ .

${k=\tan \alpha = \dfrac{|AB|}{|OB|}}$

Найдем коэффициент $k$ в том случае, когда $k<0$ . Он равен тангенсу угла $\alpha$ . Удобно так же, как в первом случае, построить прямоугольный треугольник, но для угла ${180^{\circ} - \alpha}$ .

${\tan (180^{\circ}- \alpha) = \dfrac{|AB|}{|OB|}}$ .

Воспользуемся формулой приведения, чтобы найти ${\tan \alpha}$ : ${\tan(180^{\circ} -\alpha) = -\tan \alpha}$ .

Тогда ${k=\tan \alpha = - \tan (180^{\circ}- \alpha) = -\dfrac{|AB|}{|OB|}}$ .

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график функции ${f(x)=kx+b}$ . Найдите $k$ .

Решение

Решим задачу двумя способами - с помощью системы уравнений и с нахождением тангенса угла наклона прямой:

Вариант 1:

Найдем коэффициент $k$ как тангенс угла наклона прямой. Заметим, что графику – на следующей странице, принадлежат две выделенные точки $A$ и $C$ . Построим точку $B$ : для этого опустим перпендикуляры из точки $A$ на ось $x$ и из точки $C$ на ось $y$ и продолжим их до пересечения — это точка $B$ . Получили прямоугольный треугольник $\Delta ABC$ . Отсюда тангенс угла наклона прямой — отношение противолежащего катета к прилежащему: ${k=\dfrac{|AB|}{|BC|}=\dfrac{5}{4}}$ .

Вариант 2:

Найдем две точки на графике: ${(-3; -3)}$ , ${(1;2)}$ (они обычно выделены жирно, но можно брать любые целочисленные точки, главное, убедитесь в том, что они действительно целочисленные). Возьмем уравнение прямой ${y=kx+b}$ и подставим в него координаты этих двух точек. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} -3 = -3\cdot k+b, \\ 2 = 1\cdot k+b. \\ \end{cases}$

Найдем коэффициенты $k$ и $b$ из системы:

Выразим $b$ из первого уравнения: ${b=-3+3k}$ и подставим во второе уравнение системы: ${2=k-3+3k \Leftrightarrow 4k=5}$ . Отсюда находим $k$ : ${k=\dfrac{5}{4}}$ .

Задача для самостоятельного решения:

На рисунке изображен график функции ${f(x)=kx+b}$ . Найдите $k$ .

Полезный факт про прямые.
Прямые, задаваемые уравнениями $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1=k_2$

Задачи для самостоятельного решения

Часть 1

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(-8; 3)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=18$ .

Решение

Вспомним, как выглядит прямая $y=18$ :

Прямая $y= 18$ – горизонтальная прямая, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, мы ищем все точки, где касательная горизонтальна. При решении этой задачи можно приложить линейку горизонтально и, двигая ее «вниз», отметить на графике точки с горизонтальной касательной.

Мы получили 5 точек с горизонтальной касательной.
Ответ: 5.

Задача 1

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-5;5)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=6$ или совпадает с ней.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(-11; 2)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=-6$ .

Задача 3

На рисунке изображен график функции $y= f(x)$ , определенной на интервале $(-1; 13)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=20$ .

Часть 2

$\blacktriangleright$ Пример 1

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-5; 3)$ . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y = 2x+ 7$ или совпадает с ней.

Решение

Заметим, что нам дан график производной. Если касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y= 2x+ 7$ или совпадает с ней, то коэффициент $k$ касательной должен быть равен 2, а значит, и значение производной в точке касания равно 2. Для того чтобы найти искомую абсциссу, выясним, в какой точке значение производной функции $f(x)$ равно 2. Для этого проведем горизонтальную прямую $y= 2$ и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Она и будет искомой абсциссой точки касания.

Ответ: $-1$ .

$\blacktriangleright$ Пример 2

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-11; 3)$ . Найдите количество таких чисел $x_i$ , что касательная к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_i$ параллельна прямой $y = 3x - 11$ или совпадает с ней.

Решение

Заметим, что нам дан график производной. Если касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y = 3x - 11$ или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 3, а значит производная $f'(x)$ тоже должна быть равна 3, поэтому нам нужно найти количество точек, в которых производная $f'(x)$ равна 3. Для этого построим прямую $y= 3$ , и посчитаем количество точек пересечения графика производной, и этой прямой. Таких точек 6.

Ответ: 6.