3 Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание функции

Теория

Достаточное условие монотонности функции.

Если $f^{\prime}(x)>0$ в каждой точке интервала $(a, b)$ , то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Если $f^{\prime}(x)<0$ в каждой точке интервала $(a, b)$ , то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Задачи для самостоятельного решения

Часть 1

$\blacktriangleright$ Пример

На рисунке изображен график функции $y= f(x)$ , определенной на интервале $(-8; 3)$ . Определите количество целых чисел $x_i$ , для которых $f'(x_i)$ отрицательна.

Решение

Как мы знаем, на промежутках убывания производная дифференцируемой функции неположительна. При этом она равна 0 только в точках, в которых касательная к графику этой функции горизонтальна.

На промежутке возрастания производная дифференцируемой функции неотрицательна. При этом она равна 0 только в точках, в которых касательная к графику этой функции горизонтальна.

Значит, необходимо выделить промежутки убывания функции, указать на этих промежутках целые числа, определить те из них, в которых производная отрицательна, а затем найти количество таких чисел.

Промежутки убывания функции: $(-8; -5],\, [-3; 0],\, [1; 2]$ , целые числа, принадлежащие этим промежуткам $\{-7; -6; -5; -3; -2; -1; 0; 1; 2\}$ .

В конечных точках промежутков $\{-5; -3; 0; 1; 2\}$ значение производной равно 0, в остальных точках – $\{-7; -6; -2; -1\}$ – производная отрицательна.

Примечание: Иногда в данных задачах вопрос могут формулировать по-другому: "определите количество целых точек в который производная $f'(x)$ отрицательна". В этом случае мы ищем целые точки на оси $Ox$ , в которых наша функция убывает. При этом мы смотрим именно на целые точки по оси $Ox$ .

Значение функции в точке может быть не целым, то есть, если функция $f(x)$ в точке $x=2$ , принимает значения $f(x)=-5,5$ , но при этом в этой точке функция убывает, то для нас это будет целая точка, в которой производная функции отрицательна.

Ответ: 4.

Задача 1

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-6;8)$ . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задача 2

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-5;5)$ . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

На рисунке изображён график функции $f(x)$ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8$ . В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

Задача 4

На рисунке изображён график функции $f(x)$ и двенадцать точек на оси абсцисс: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_10,x_11,x_12$ . В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

Часть 2

$\blacktriangleright$ Пример 1

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-3; 8)$ . Найдите промежутки убывания функции $f(x)$ . В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Решение

Решение. Заметим, что нам дан график именно производной $y=f'(x)$ . На промежутках убывания производная дифференцируемой функции $f(x)$ неположительна (на промежутках возрастания соответственно неотрицательна). Нас интересуют промежутки, где производная неположительна, то есть, где график производной находится не выше оси $Ox.$

У нас таких промежутков два: $[-1,5; 4,5]$ и $[6,5; 8)$ . Целые числа, входящие в эти промежутки, – это $-1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 7$ , то есть искомая сумма равна $-1+0+1+2+3+4+7= 16$ .

Ответ: 16.

$\blacktriangleright$ Пример 2

На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-11; 3)$ . Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$ . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Заметим, что нам дан график именно производной $y=f'(x)$ . На промежутках возрастания производная дифференцируемой функции $f(x)$ неотрицательна (на промежутках убывания, соответственно, неположительна). Нас интересуют промежутки, где производная неотрицательна, то есть, где график производной находится не ниже оси $Ox.$

В нашем случае их 3: $(-11; -10],\ [-7; -1]$ и $[2; 3)$ , наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток $[-7; -1]$ , его длина равна $-1 - (-7) =6$ .

Ответ: 6.

Задача 1

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-7;4)$ . Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$ . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задача 2

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-5;7)$ . Найдите промежутки убывания функции $f(x)$ . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-11;3)$ . Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$ . В ответе укажите длину наибольшего из них.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-2;12)$ . Найдите промежутки убывания функции $f(x)$ . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Возрастание и убывание функции

Часть 1

— 4;
— 7;
— 5;
— 7.

Часть 2

— $-3$ ;
— 18;
— 6;
— 6.