6 Первообразная
Первообразная
Теория
Определение
\(F(x)\) называется первообразной функции \(f(x)\), если \(F'(x)=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Пример 1
Функция \(x^2\) является первообразной функции \(2x\).
Функция \(\sin x\) является первообразной функции \(\cos x\).
Примечание: У одной и той же функции может быть несколько первообразных. Например, функции \(x^2+1\), \(x^2-8\), \(x^2-1000\) являются первообразными функции \(2x\).
Более общий факт звучит так:
Если \(F(x)\) первообразная функции \(f(x)\), то для любого действительного числа с \(F(x)+c\) тоже первообразная \(f(x)\).
Если \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) две первообразные функции \(f(x)\), то они отличаются на некоторую константу. Иначе говоря \(F_1(x)-F_2(x)=const\).
Первообразная связана с площадью под графиком. Тут нам понадобится картинка:
У нас есть график некоторый непрерывной функции \(y=f(x)\). Мы зафиксировали на оси \(Ox\) какие-то точки \(a\) и \(b\). Мы хотим посчитать площадь под графиком функции \(f(x)\) на отрезке \([a,b]\). Пусть \(F(x)\) – это некоторая первообразная функции \(f(x)\). Оказывается, площадь \(S\) есть разность значений первообразной \(F(x)\) в точке \(b\) и точке \(a\), то есть:
\(S=F(b)-F(a)\)
Это соотношение также называется формулой Ньютона-Лейбница.
\(\blacktriangleright\) Пример 2
Вычислим площадь под графиком функции \(f(x)=x^2\) на отрезке \([1;2]\).
Решение
Попробуем найти такую функцию, производная от которого равна \(x^2\).
Заметим, что
Это значит что \(\dfrac{x^3}{3}\) является одной из первообразных функции \(x^2\).
Тогда возьмём \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\).
По формуле площади под графиком:
Площадь под графиком \(\dfrac{7}{3}\).
Задачи
Часть 1. По графику первообразной \(y=F\left(x\right)\) определяем количество решений уравнения \(f\left(x\right)=0\) на заданном отрезке.
\(\blacktriangleright\) Пример
На рисунке изображён график функции \(y=F(x)\), одной из первообразных некоторой функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-2;6)\). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения \(f(x)=0\) на отрезке \([-1;5]\).
Решение:
Отметим отрезок от -1 до 5.
Если \(F(x)\) одна из первообразных функций \(f(x)\), то можно говорить, что \(f(x)=F'(x)\). Значит мы можем в условии нашего задания вместо \(f(x)\) написать \(F'(x)\). Тогда наша задача примет вид:
На рисунке изображён график функции \(y=F(x)\), определённой на интервале \((-2;6)\). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения \(F'(x)=0\) на отрезке \([-1;5]\).
Эту задачу мы уже умеет решать.
Нам дан график функции, а просят понять, сколько существует точек, в которых производная равна 0.
Можно считать, что производная равна 0 в точках минимума и максимум. Значит нам надо найти точки минимума и максимума у нашей функции на отрезке \([-1;5]\) и посчитать их количество.
Получилось 10 точек, а значит, наше уравнение имеет 10 корней.
Ответ: 10.
Задача 1
На рисунке изображён график функции \(y=F\left(x\right)\) — одной из первообразных функции \(f\left(x\right)\), определённой на интервале \(\left(-2;5\right)\). Найдите количество решений уравнения \(f\left(x\right)=0\) на отрезке \(\left[-1;4\right]\).
Задача 2
На рисунке изображён график функции \(y=F\left(x\right)\) — одной из первообразных функции \(f\left(x\right)\), определённой на интервале \(\left(-3;6\right)\). Найдите количество решений уравнения \(f\left(x\right)=0\) на отрезке \(\left[-2;5\right]\).
Часть 2. Связь первообразной и площади под графиком. Тип №1
\(\blacktriangleright\) Пример
На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f(x)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F(8) - F(2)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных функции \(f(x)\).
Решение:
Нам надо найти \(F(8)-F(2)\). Вспоминая теорию, мы понимаем, что надо найти площадь под графиком функции \(y=f(x)\) на отрезке \([2;8]\). Заштрихуем эту площадь:
Перед нами трапеция. Площадь трапеции равна \(S_{тр}=\dfrac{a+b}{2} \cdot h\). Верхнее основание равно \(a=(3-2)=1\), нижнее основание равно \(b=(8-2)=6\) и высота \(h=2\). Тогда:
Ответ: 7.
Задача 1
На рисунке изображён график функции \(y=f\left(x\right)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F\left(6\right)-F\left(2\right)\), где \(F\left(x\right)\) — одна из первообразных функции \(f\left(x\right)\).
Задача 2
На рисунке изображён график функции \(y=f\left(x\right)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F\left(7\right)-F\left(4\right)\), где \(F\left(x\right)\) — одна из первообразных функции \(f\left(x\right)\).
Часть 3. Связь первообразной и площади под графиком. Тип №2
\(\blacktriangleright\) Пример
На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). Функция \(F(x)=-x^3-27x^2-240x-8\)— одна из первообразных функции \(f(x)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
Нам дано, что \(F(x)=-x^3-27x^2-240x-8\). Нас просят найти площадь \(S\). Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \(S=F(b)-F(a)\).
В нашем случае \(S=F(-8)-F(-10)\). Вычислим:
Теперь мы можем посчитать площадь:
Ответ: 4.
Задача 1
На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f\left(x\right)\). Функция \({F\left(x\right)=x^3+21x^2+151x-1}\) — одна из первообразных функции \(f\left(x\right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задача 2
На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f\left(x\right)\). Функция \({F\left(x\right)=x^3-12x^2+52x-\dfrac{3}{2}}\) — одна из первообразных функции \(f\left(x\right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задача 3
На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f\left(x\right)\). Функция \({F\left(x\right)=-\,\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{34}{3}x^2-\dfrac{280}{3}x-\dfrac{18}{5}}\) — одна из первообразных функции \(f\left(x\right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Первообразная
Часть 1
Часть 2
Часть 3
|