2 Касательная к графику. Задачи на вычисление

Касательная к графику. Задачи на вычисление

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Теория

Прямая $y=kx+b$ является касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с координатами $(x_0;f(x_0))$ , если выполнены 2 условия:

1) В точке $x_0$ прямая $y=kx+b$ и график функции $y=f(x)$ пересекаются, то есть при $x=x_0$ получаем, что

f(x_0)=kx_0+b.

2) Значение производной функция $y=f(x)$ в точке $x_0$ должно совпадать с коэффициентом $k$ прямой $y=kx+b$ , то есть:

f'(x_0)=k.

В итоге получаем систему: $\begin{cases} f(x_0)=kx_0+b, \\ f'(x_0)=k. \\ \end{cases}$

Есть три ситуации:

В точке $x_0$ совпадает значение функции $y=f(x)$ и значение функции $y=kx+b$ , то есть $f(x_0)=kx_0+b$ , но не совпадают значения производных $f'(x_0)\neq k$ . В этом случае прямая пересекает график, но не будет касаться графика.
В точке $x_0$ значение функции $y=f(x)$ и значение функции $y=kx+b$ – не совпадают, т.е. $f(x_0) \neq kx_0+b$ , но в точке $x_0$ совпадают их производные: $f'(x_0)=k$ . В этом случае прямая $y=kx+b$ параллельна касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .
В точке $x_0$ совпадают значения функции $y=f(x)$ и функции $y=kx+b$ , а так же совпадают значения их производных:
$\begin{cases} f(x_0)=kx_0+b,\\ f'(x_0)=k. \end{cases}$
В этом случае прямая $y=kx+b$ является касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .

$\blacktriangleright$ Пример 1

Прямая $y=6x+9$ параллельна касательной к графику функции $y= x^2 +7x-6$ . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая $y=kx+b$ параллельна прямой $y=6x+9$ тогда и только тогда, когда коэффициент $k=6$ . Коэффициент $k$ касательной совпадает со значением производной функции $f(x)= x^2 +7x-6$ в точке касания $x_0$ .

f'(x)=(x^2+7x-6)'=2x+7.

Значит, $f'(x_0)=2x_0+7$ .
Отсюда получаем $2x_0+7=6 \Leftrightarrow 2x_0=-1 \Leftrightarrow x_0=-0,5$ .

$\blacktriangleright$ Пример 2

Прямая $y = 2x + 37$ является касательной к графику функции $y=x^3+3x^2-7x+10$ . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая $y=kx+b$ параллельна прямой $y=2x+37$ , тогда и только тогда, когда коэффициент $k=2$ . Коэффициент $k$ касательной совпадает со значением производной функции $f(x)= x^3+3x^2-7x+10$ в точке касания $x_0$ .

f'(x)=(x^3+3x^2-7x+10)'=3x^2+ 6x- 7

Значит $f'(x_0)=3x_0^2+ 6x_0- 7$ .

Отсюда получаем:

3x_0^2+ 6x_0- 7= 2 \Leftrightarrow 3x_0^2+ 6x_0-9=0 \Leftrightarrow x_0^2+2x_0-3=0

D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16

x_{1,2}=\dfrac{-2\pm4}{2}

Следовательно, это квадратное уравнение имеет два корня: $-3$ и 1. Таким образом, есть две точки, в которых касательная к графику функции

y = x^3+3x -7x+10

имеет угловой коэффициент, равный 2.
Чтобы определить, в какой из двух точек прямая $y=2x+37$ касается графика функции $y = x^3+3x -7x+10$ , вспомним, что в точке касания график функции и касательная должны пересекаться, то есть в искомой точке должны совпадать значения двух функций.
Значение функции $f(x) = x^3+3x^2-7x+10$ в точке $-3$ равно:

f(-3)=-27+27+21+10=31,

а значение в точке 1 равно:

f(1)=1+ 3- 7+ 10 = 7.

Из уравнения касательной $y = 2x+37$ при $x=-3$ получим значение:

y(-3)=-6+37=31,

а при $x=1$ получим значение:

y(1)=2+37=39.

Получается, что в точке $x=-3$ значения совпали: $f(-3)=y(-3)$ , а в точке $x=1$ нет: $f(1)\neq y(1)$ . Значит, искомая абсцисса точки касания равна $-3$ , а в точке $x=1$ прямая $y=2x+37$ просто параллельна касательной, но ею не является.

$\blacktriangleright$ Пример 3

Прямая $y = 3x + 1$ является касательной к графику функции $y=ax^2+2x+3$ . Найдите $a$ .

Решение

Вариант 1:

Решение. Для того, чтобы прямая $y = 3x + 1$ являлась касательной к графику функции $y=ax^2+2x+3$ , значение производной функции $f(x)=ax^2+2x+3$ в точке касания должно совпадать с угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 1$ – это $k=3$ . Производная функции $f(x)=ax^2+2x+3$ – это $f'(x)=2ax+2$ . Если за $x_0$ принять абсциссу точки касания, имеем: $2ax_0+2=3$ , т. е. $ax_0=\dfrac{1}{2}$ . Найдем, значение исходной функции в точке касания:

ax_0^2+2x_0+3=ax_0 \cdot x_0 + 2x_0 + 3 =\dfrac{1}{2}x_0+2x_0+3=\dfrac{5}{2}x_0+3.

Так как прямая $y = 3x + 1$ – касательная, то значение $y$ в точке $x_0$ должно быть равно $\dfrac{5}{2}x_0+3$ , имеем:

\dfrac{5}{2}x_0+3=3x_0+1,

откуда $x_0=4$ . А значит, $ax_0=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 4a=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a=0,125$ .

Вариант 2:

При $a=0$ функция $y=ax^2+2x+3$ принимает вид $y=2x+3$ . Это уравнение прямой. Две различные прямые не могут касаться друг друга, поэтому этот случай нам не подходит.

При $a\neq0$ графиком функции $y=ax^2+2x+3$ является парабола. По условию задачи эта парабола должна касаться прямой $y=3x+1$ .

Парабола и прямая могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек вообще. Случай касания – это случай одной общей точки. Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y=ax^2+2x+3$ и $y=3x+1$ нужно найти корни уравнения $ax^2+2x+3=3x+1$ . Количество корней уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графиков двух данных функций.

В нашем случае уравнение $ax^2+2x+3=3x+1$ должно иметь одно решение. Перепишем уравнение в виде $ax^2-x+2=0$ . При $a\neq0$ это уравнение имеет 1 решение, когда его дискриминант равен 0. Найдем, при каких значениях $a$ дискриминант уравнения равен 0.

D=1^2-4\cdot a\cdot2=1-8a

1-8a=0 \Leftrightarrow 8a=1 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{8}

Таким образом $a=\dfrac{1}{8}$ – это значение $a$ , при котором прямая $y = 2x + 3$ является касательной к параболе $y=ax^2+2x+3$ .

Иллюстрация:

Замечание:
Если нам требуется найти абсциссу точки касания, то подставим найденные значения $a$ в уравнение $ax^2-x+2=0$ и решим его. Его корень – это искомая абсцисса.
Если $a=\dfrac{1}{8}$ , то мы получаем уравнение $\dfrac{1}{8}x^2-x+2=0\Leftrightarrow x^2-8x+16=0 \Leftrightarrow (x-4)^2=0 \Leftrightarrow x-4=0 \Leftrightarrow x=4.$

$\blacktriangleright$ Пример 4

Прямая $y = 5x - 13$ является касательной к графику функции $y=2x^2+bx+37$ . Найдите $b$ .

Решение

Вариант 1:

Чтобы прямая $y = 5x - 13$ являлась касательной к графику функции $y=2x^2+bx+37$ , значение производной функции $f(x)=2x^2+bx+37$ , в точке касания должно совпадать с угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой $y = 5x - 13$ – это $k=5$ . Производная функции $f(x)=2x^2+bx+37$ – это $f'(x)=4x+b$ .

Если за $x_0$ принять абсциссу точки касания, имеем: $4x_0+b=5$ , т. е. $b=5-4x_0$ . Найдем значение исходной функции в точке касания:

2x_0^2+bx_0+37=2x_0^2+(5-4x_0)x_0+37= -2x_0^2+5x_0+37.

Так как прямая $y = 5x - 13$ – касательная, то ее значение в точке $x_0$ должно быть таким же, имеем:

-2x_0^2+5x_0+37=5x_0-13 \Leftrightarrow 2x_0^2=50\Leftrightarrow x_0^2=25 \Leftrightarrow x_0=\pm 5.

При $x_0=-5$ имеем $b=5-4\cdot(-5) =25$ .
При $x_0=5$ имеем $b=5 - 4\cdot(5) =-15$ .

Как видно, задача имеет два решения, в таких случаях обычно вводится дополнительное условие, позволяющее отбросить одно из них. Например, условие положительности $x_0$ .

Вариант 2:

Графиком функции $y=2x^2+bx+37$ является парабола. По условию задачи эта парабола должна касаться прямой $y=5x-13$ . Парабола и прямая могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек вообще. Случай касания – это случай одной общей точки. Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y=2x^2+bx+37$ и $y=5x-13$ , нужно найти корни уравнения $2x^2+bx+37=5x-13$ . Количество корней уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графиков двух данных функций. Значит, в случае касания уравнение $2x^2+bx+37=5x-13$ должно иметь одно решение. Перепишем уравнение в виде $2x^2+(b-5)x+50=0$ . Это уравнение имеет 1 решение, когда его дискриминант равен 0. Найдем, при каких значениях $b$ дискриминант уравнения равен 0.

D=(b-5)^2-4\cdot 2\cdot50=(b-5)^2-400

(b-5)^2-400=0\Leftrightarrow (b-5)^2=400 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} b-5=20, \\ b-5=-20. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} b=25, \\ b=-15. \\ \end{array} \right.

Таким образом, прямая $y = 5x - 13$ является касательной к параболе $y=2x^2+bx+37$ при двух значениях $b$ :

\left[ \begin{array}{ll} b=25, \\ b=-15. \\ \end{array} \right.

Иллюстрация:

Замечание:
Если нам требуется найти абсциссу точки касания, то подставим найденные значения $b$ в уравнение $2x^2+(b-5)x+50=0$ и решим его. Его корень – это искомая абсцисса.
Если $b=25$ , то мы получаем уравнение $2x^2+20x+50=0\Leftrightarrow x^2+10x+25=0 \Leftrightarrow (x+5)^2=0 \Leftrightarrow x+5=0 \Leftrightarrow x=-5.$
Если $b=-15$ , то мы получаем уравнение $2x^2-20x+50=0\Leftrightarrow x^2-10x+25=0 \Leftrightarrow (x-5)^2=0 \Leftrightarrow x-5=0 \Leftrightarrow x=5.$

$\blacktriangleright$ Пример 5

Прямая $y = 4x + 3$ является касательной к графику функции $y=x^2-2x+c$ . Найдите $c$ .

Решение

Вариант 1:

Чтобы прямая $y = 4x + 3$ являлась касательной к графику функции $y=x^2-2x+c$ , значение производной функции $f(x)=x^2-2x+c$ в точке касания должно совпадать с угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 3$ – это $k=4$ . Производная функции $f(x)=x^2-2x+c$ – это $f'(x)=2x-2$ . Если за $x_0$ принять абсциссу точки касания, имеем: $2x_0-2=4\Leftrightarrow 2x_0=6\Leftrightarrow x_0=3$ . Найдем значение исходной функции в точке касания:

x_0^2-2x_0+c=3^2-2\cdot 3+c= 3+c.

Так как прямая $y = 4x + 3$ – касательная, то ее значение в точке $x_0=3$ должно быть таким же, имеем:

3+c=4\cdot3 + 3 \Leftrightarrow c=12.

Таким образом, $c=12$ – это значение $c$ , при котором прямая $y = 4x + 3$ является касательной к параболе $y=x^2-2x+c$ .

Вариант 2:

Графиком функции $y=x^2-2x+c$ является парабола. По условию задачи эта парабола должна касаться прямой $y=4x+3$ . Парабола и прямая могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек вообще. Случай касания – это случай одной общей точки. Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y=x^2-2x+c$ и $y=4x+3$ , нужно найти корни уравнения $x^2-2x+c=4x+3$ . Количество корней уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графиков двух данных функций. Значит, в нашем случае уравнение $x^2-2x+c=4x+3$ должно иметь одно решение. Перепишем уравнение в виде $x^2-6x+c-3=0$ . Это уравнение имеет 1 решение, когда его дискриминант равен 0. Найдем при каких значениях $c$ дискриминант уравнения равен 0.

D=(-6)^2-4\cdot (c-3)=36-4c+12=48-4c

48-4c=0 \Leftrightarrow 4c=48 \Leftrightarrow c=12

Таким образом, $c=12$ – это значение $x$ , при котором прямая $y = 4x + 3$ является касательной к параболе $y=x^2-2x+c$ .

Иллюстрация:

Замечание:
Если нам требуется найти абсциссу точки касания, то подставим найденное значение $c$ в уравнение $x^2-6x+c-3=0$ и решим его. Его корень – это искомая абсцисса.
Если $c=12$ , то мы получаем уравнение $x^2-6x+9=0\Leftrightarrow (x-3)^2=0 \Leftrightarrow x-3=0 \Leftrightarrow x=3.$

Задачи для самостоятельного решения

Часть 1

Задача 1

Прямая $y=-5x-6$ параллельна касательной к графику функции $y=x^2+8x-7$ . Найдите абсциссу точки касания.

Задача 2

Прямая $y=-3x+8$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2+7x-6$ . Найдите абсциссу точки касания.

Задача 3

Прямая $y=8x+8$ параллельна касательной к графику функции $y=x^2-3x+8$ . Найдите абсциссу точки касания.

Часть 2

Задача 1

Прямая $y=-4x-11$ является касательной к графику функции $y=x^3+7x^2+7x-6$ . Найдите абсциссу точки касания.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Прямая $y =-x+4$ является касательной к графику функции $y = x^3+ x^2-x+4.$ Найдите абсциссу точки касания.

Задача 3

Прямая $y = x+11$ является касательной к графику функции $y = x^3+5x^2 +9x+15.$ Найдите абсциссу точки касания.

Часть 3

Задача 1

Прямая $y=3x+1$ является касательной к графику функции $y=ax^2+2x+3$ . Найдите $a$ .

Задача 2

Прямая $y=-5x+8$ является касательной к графику функции $y=28x^2+bx+15$ . Найдите $b$ , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Прямая $y=3x+4$ является касательной к графику функции $y=3x^2-3x+c$ . Найдите $c$ .

Задача 4

Прямая $y= x+3$ является касательной к графику функции $y=ax^2 +3x-2$ . Найдите $a$ .

Задача 5

Прямая $y = 6x - 5$ является касательной к графику функции $y= 3x^2 + bx+ 7$ . Найдите $b$ , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задача 6

Прямая $y = 3x + 4$ является касательной к графику функции $y=3x^2-3x+ c$ . Найдите $c$ .

Касательная к графику. Задачи на вычисление

Часть 1

— $-6,5$ ;
— $-5$ ;
— $5,5$ .

Часть 2

— $-1$ ;
— 0;
— $-2$ .

Часть 3

— $0,125$ ;
— $-33$ ;
— 7;
— $-0,2$ ;
— $-6$ ;
— 7.