ДВИ МГУ 2022, Поток 1 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите наименьшее целое число, большее, чем

\dfrac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}

.

Задача 2МГУ

Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что пятый её член равен 7.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\tg x\,\tg 2x+3=0

.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\left(2\log_{2}^{2}x-\log_{2}x^{2}+1\right)^{x^{2}-2x}\leqslant 1.

Задача 5МГУ

Середины сторон выпуклого четырёхугольника

ABCD

лежат на окружности. Известно, что

AB=1

,

BC=4

,

CD=8

. Найдите

AD

.

Задача 6МГУ

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

,x^2+\left(1-a+\sqrt[4]{|x|}\right)^2=\dfrac{a^2}{4},

имеет ровно три решения.

Решение

Если

x_0

является решением, то и

-x_0

также является решением, так как уравнение содержит

x

только под знаком

|x|.

Следовательно, для того чтобы было нечётное количество решений, необходимо, чтобы

x=0

было решением. Подставив

x=0

, получаем

(1-a)^2=\dfrac{a^2}{4},

что выполняется при

a=2

и при

a=\dfrac{2}{3}.

Положим

y=1+\sqrt[4]{|x|}.

Тогда исходное уравнение равносильно системе

\begin{cases} y=1+\sqrt[4]{|x|} \\ x^2+(y-a)^2=\dfrac{a^2}{4} \end{cases}

Второе уравнение задаёт окружность радиуса

\dfrac{a}{2}

с центром в точке

(0,a).

При

a=\dfrac{2}{3}

эта окружность находится под прямой

y=1,

тогда как график уравнения

y=1+\sqrt[4]{|x|}

лежит над этой прямой и имеет с ней ровно одну общую точку

(0,1),

которая лежит на окружности. Стало быть, при

a=\dfrac{2}{3}

уравнение имеет ровно одно решение

x=0

, и значение

a=\dfrac{2}{3}

не подходит. Пусть

a=2.

Тогда окружность имеет центр в точке

(0,2)

и радиус

1.

При

-1\le x\le 1

график

y=1+\sqrt[4]{|x|}

находится под графиком

y=1+|x|,

который при

0<|x|<1

строго между прямой

y=1

и графиком

y=2.

Верхняя половина окружности находится над графиком

y=2,

а нижняя — под графиком

y=1+|x|.

Точки

(-1,2), (0,1), (1,2)

принадлежат обоим графикам, и других пересечений нет. Таким образом, при

a=2

уравнение имеет ровно три решения

x=-1, x=0, x=1.

Задача 7МГУ

Объём треугольной призмы

ABCA'B'C'

с основанием

ABC

и боковыми рёбрами

AA'

,

BB'

,

CC'

равен 72. Найдите объём тетраэдра

DEFG

, где

D

— центр грани

ABB'A'

,

E

— точка пересечения медиан треугольника

A'B'C'

,

F

— середина ребра

AC

и

G

— середина ребра

BC

.