ДВИ МГУ по математике — 2022, Поток 2

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде целое число, заданное выражением 11⋅(211−7+211+7)\sqrt{11}\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}+\dfrac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}\right).
Задача 2МГУ
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии в два раза больше разности между первым и четвёртым её членами. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что сумма первых семи её членов равна 127.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡x+sin⁡2x=cos⁡x+cos⁡2x\sin x+\sin 2x=\cos x+\cos 2x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство xlog⁡2x⩾2x.x^{\log_{2}\sqrt{x}}\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{x}}.
Задача 5МГУ
На диагонали ACAC параллелограмма ABCDABCD как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны ABAB и BCBC в точках MM и NN соответственно. При этом AM=MBAM=MB и CN=2NBCN=2NB. Найдите тангенс острого угла параллелограмма ABCDABCD.
Задача 6МГУ
Найдите все возможные значения произведения xyxy, если известно, что x,y∈[0,π2)x,y\in[0,\dfrac{\pi}{2}) и справедливо 1−sin⁡(x−y)1−cos⁡(x−y)=1−sin⁡(x+y)1−cos⁡(x+y).\dfrac{1-\sin(x-y)}{1-\cos(x-y)}=\dfrac{1-\sin(x+y)}{1-\cos(x+y)}.
Задача 7МГУ
В пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α\alpha и стороной 6\sqrt6, вписана сфера диаметра 1. Найдите угол α\alpha, если известно, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом 60∘60^\circ.