ДВИ МГУ по математике — 2022, Поток 6

Поток 1 Поток 2 Поток 3 Поток 4 Поток 5 Поток 6

Задача 1МГУ

Определите, какое из двух чисел больше:

\sqrt{3}^{\,15}

или

9^{\sqrt{14}}

Задача 2МГУ

Числа

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{30}

образуют арифметическую прогрессию. Известно, что

a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{30}=45

и что

a_3+a_6+a_9+\ldots+a_{30}=100

. Найдите разность этой прогрессии.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\tg x=4\sin x-\sqrt{3}

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\log_{x}\left(x^{2}+\dfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x).

Решение

Положим

t=\log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right).

Тогда, поскольку

t\leqslant\dfrac{4}{t}\iff\dfrac{(t-2)(t+2)}{t}\leqslant 0\iff\left[\begin{array}{l}0<t\leqslant 2\\ t\leqslant-2\end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{l}\frac{1}{t}\geqslant\frac{1}{2}\\ t\leqslant-2\end{array}\right.,\ \text{получаем}

\log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x)\iff\left[\begin{array}{l}\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x)\geqslant\frac{1}{2}\\ \log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\leqslant-2\end{array}\right.

\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x^{2})\geqslant 1\\ \log_{x^{-2}}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\geqslant 1\end{array}\right.\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}\dfrac{x^{2}-(x^{2}+\frac{3}{2})}{(x^{2}+\frac{3}{2})-1}\geqslant 0\\ \dfrac{(x^{2}+\frac{3}{2})-x^{-2}}{x^{-2}-1}\geqslant 0\end{array}\right.\end{cases}

\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}x\in\varnothing\\ \dfrac{x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}-1}{x^{2}-1}\leqslant 0\end{array}\right.\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \dfrac{(x^{2}+2)(x^{2}-\frac{1}{2})}{x^{2}-1}\leqslant 0\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \dfrac{1}{2}\leqslant x^{2}<1\end{cases}\iff\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant x<1

Задача 5МГУ

Окружность, проходящая через вершину

A

треугольника

ABC

, касается его стороны

BC

в точке

D

и пересекает стороны

AC

AB

в точках

E

F

соответственно. Известно, что

AF=3BF

BD=CD

AE=2CE

и что

ED=\sqrt{10}

. Найдите

BC

Задача 6МГУ

Найдите все значения параметра

a

из интервала

(0,1)

, при которых, для каждого

x

из интервала

(0,\dfrac{\pi}{4})

существует не более одного, значения

y

в интервале

(0,\dfrac{\pi}{4})

, такого что

,\dfrac{\operatorname{tg}x \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}=\dfrac{\operatorname{tg}(x+y)-\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}{1+\operatorname{tg}(x+y) \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}.

Решение

Будем считать, что

0<a<1, 0<x<\dfrac{\pi}{4}, 0<y<\dfrac{\pi}{4}.

Тогда значения всех тангенсов определены и никакие знаменатели не обращаются в нуль. Домножая на произведения знаменателей и учитывая, что

\operatorname{tg}(x+y)=\dfrac{\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y}{1-\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y}, \text{ получаем}

\operatorname{tg}^2\left(a(x+y)\right)+\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)\operatorname{tg}(x+y)\left(\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y-1\right)+\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y=0 \iff

\iff \operatorname{tg}^2\left(a(x+y)\right)-\left(\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y\right)\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)+\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y=0 \iff

\iff \left(\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)-\operatorname{tg}x\right)\left(\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)-\operatorname{tg}y\right)=0 \iff

\iff \left[\begin{array}{l} \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)=\operatorname{tg}x \\ \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)=\operatorname{tg}y \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} a(x+y)=x \\ a(x+y)=y \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} y=\dfrac{1-a}{a}x \\ y=\dfrac{a}{1-a}x \end{array}\right.

При любом

a\in(0,1), a\ne\dfrac{1}{2},

любому

x

, удовлетворяющему

0<x<\min\left(\dfrac{1-a}{a},\dfrac{a}{1-a}\right)\cdot\dfrac{\pi}{4},

будут соответствовать два значения

y \text{ в интервале } 0<y<\dfrac{\pi}{4}.

Если же

a=\dfrac{1}{2}

, получаем соответствие

y=x

, которое взаимно однозначно.

Задача 7МГУ

Основание

ABCD

прямоугольного параллелепипеда

ABCDA'B'C'D'

с боковыми рёбрами

AA'

BB'

CC'

DD'

является квадратом со стороной

\sqrt2

. Известно, что

AE\perp D'F

, где

E

— центр грани

BCC'B'

F

— центр квадрата

ABCD

. Найдите расстояние между серединами отрезков

AE

D'F

Задача 1МГУ

Определите, какое из двух чисел больше:

\sqrt{3}^{\,15}

или

9^{\sqrt{14}}

Задача 2МГУ

Числа

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{30}

образуют арифметическую прогрессию. Известно, что

a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{30}=45

и что

a_3+a_6+a_9+\ldots+a_{30}=100

. Найдите разность этой прогрессии.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\tg x=4\sin x-\sqrt{3}

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\log_{x}\left(x^{2}+\dfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x).

Решение

Положим

t=\log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right).

Тогда, поскольку

t\leqslant\dfrac{4}{t}\iff\dfrac{(t-2)(t+2)}{t}\leqslant 0\iff\left[\begin{array}{l}0<t\leqslant 2\\ t\leqslant-2\end{array}\right.\iff\left[\begin{array}{l}\frac{1}{t}\geqslant\frac{1}{2}\\ t\leqslant-2\end{array}\right.,\ \text{получаем}

\log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x)\iff\left[\begin{array}{l}\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x)\geqslant\frac{1}{2}\\ \log_{x}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\leqslant-2\end{array}\right.

\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}\log_{x^{2}+\frac{3}{2}}(x^{2})\geqslant 1\\ \log_{x^{-2}}\left(x^{2}+\tfrac{3}{2}\right)\geqslant 1\end{array}\right.\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}\dfrac{x^{2}-(x^{2}+\frac{3}{2})}{(x^{2}+\frac{3}{2})-1}\geqslant 0\\ \dfrac{(x^{2}+\frac{3}{2})-x^{-2}}{x^{-2}-1}\geqslant 0\end{array}\right.\end{cases}

\iff\begin{cases}x>0\\ \left[\begin{array}{l}x\in\varnothing\\ \dfrac{x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}-1}{x^{2}-1}\leqslant 0\end{array}\right.\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \dfrac{(x^{2}+2)(x^{2}-\frac{1}{2})}{x^{2}-1}\leqslant 0\end{cases}\iff\begin{cases}x>0\\ \dfrac{1}{2}\leqslant x^{2}<1\end{cases}\iff\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant x<1

Задача 5МГУ

Окружность, проходящая через вершину

A

треугольника

ABC

, касается его стороны

BC

в точке

D

и пересекает стороны

AC

AB

в точках

E

F

соответственно. Известно, что

AF=3BF

BD=CD

AE=2CE

и что

ED=\sqrt{10}

. Найдите

BC

Задача 6МГУ

Найдите все значения параметра

a

из интервала

(0,1)

, при которых, для каждого

x

из интервала

(0,\dfrac{\pi}{4})

существует не более одного, значения

y

в интервале

(0,\dfrac{\pi}{4})

, такого что

,\dfrac{\operatorname{tg}x \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}=\dfrac{\operatorname{tg}(x+y)-\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}{1+\operatorname{tg}(x+y) \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)}.

Решение

Будем считать, что

0<a<1, 0<x<\dfrac{\pi}{4}, 0<y<\dfrac{\pi}{4}.

\operatorname{tg}(x+y)=\dfrac{\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y}{1-\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y}, \text{ получаем}

\operatorname{tg}^2\left(a(x+y)\right)+\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)\operatorname{tg}(x+y)\left(\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y-1\right)+\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y=0 \iff

\iff \operatorname{tg}^2\left(a(x+y)\right)-\left(\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y\right)\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)+\operatorname{tg}x\,\operatorname{tg}y=0 \iff

\iff \left(\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)-\operatorname{tg}x\right)\left(\operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)-\operatorname{tg}y\right)=0 \iff

\iff \left[\begin{array}{l} \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)=\operatorname{tg}x \\ \operatorname{tg}\left(a(x+y)\right)=\operatorname{tg}y \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} a(x+y)=x \\ a(x+y)=y \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} y=\dfrac{1-a}{a}x \\ y=\dfrac{a}{1-a}x \end{array}\right.

При любом

a\in(0,1), a\ne\dfrac{1}{2},

любому

x

, удовлетворяющему

0<x<\min\left(\dfrac{1-a}{a},\dfrac{a}{1-a}\right)\cdot\dfrac{\pi}{4},

будут соответствовать два значения

y \text{ в интервале } 0<y<\dfrac{\pi}{4}.

Если же

a=\dfrac{1}{2}

, получаем соответствие

y=x

, которое взаимно однозначно.

Задача 7МГУ

Основание

ABCD

прямоугольного параллелепипеда

ABCDA'B'C'D'

с боковыми рёбрами

AA'

BB'

CC'

DD'

является квадратом со стороной

\sqrt2

. Известно, что

AE\perp D'F

, где

E

— центр грани

BCC'B'

F

— центр квадрата

ABCD

. Найдите расстояние между серединами отрезков

AE

D'F