ДВИ МГУ по математике — 2022, Поток 3

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Определите, какое из двух чисел больше: 3+22+3−22\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}} или 33.
Задача 2МГУ
Дана возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из положительных чисел. Произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии в два раза больше произведения первого и шестого её членов. Найдите разность этой прогрессии, если известно, что восьмой её член равен 32.
Задача 3МГУ
Решите уравнение cos⁡2x+6sin⁡x=cos⁡4x+6sin⁡x\cos 2x+6\sin x=\cos 4x+6\sin x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡3(1−x)−log⁡3(1+x)+log⁡1+x(1−x)−1⩽0.\log_{3}(1-x)-\log_{3}(1+x)+\log_{1+x}(1-x)-1\leqslant 0.
Задача 5МГУ
В треугольнике ABCABC угол CC равен 60∘60^\circ. На сторонах ABAB, BCBC, ACAC отмечены точки DD, EE, FF соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник ADFADF, равен 11. Радиус окружности, вписанной в треугольник BDEBDE, равен 22. Найдите сторону ABAB, если известно, что четырёхугольник DECFDECF является ромбом.
Задача 6МГУ
Найдите все пары действительных чисел x,yx,y, удовлетворяющих соотношению x2+y22+1xy=22−xy⋅xy4.\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}+\dfrac{1}{xy}=2\sqrt{2-\sqrt{xy}}\cdot\sqrt[4]{xy}.
Задача 7МГУ
Высота правильной треугольной призмы ABCA′B′C′ABCA'B'C' с основанием ABCABC и боковыми рёбрами AA′AA', BB′BB', CC′CC' равна 1. Найдите длину ребра основания, если известно, что AB′⊥BC′AB'\perp BC'.