ДВИ МГУ по математике — 2022, Поток 4

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите наименьшее целое число, большее, чем 23+112+132\sqrt{3}+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}.
Задача 2МГУ
Положительные числа aa, bb, cc образуют непостоянную геометрическую прогрессию. Числа aa, 4b4b, 7c7c образуют арифметическую прогрессию. Найдите отношение ac\dfrac{a}{c}.
Задача 3МГУ
Решите уравнение 2sin⁡x+2cos⁡x=1sin⁡2x+1cos⁡2x\dfrac{\sqrt{2}}{\sin x}+\dfrac{\sqrt{2}}{\cos x}=\dfrac{1}{\sin^2 x}+\dfrac{1}{\cos^2 x}.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x∣3xx−4∣⩽4.\log_{\sqrt{x}}\left|\dfrac{3x}{x-4}\right|\leqslant 4.
Задача 5МГУ
В трапеции ABCDABCD основание ABAB в два раза больше основания CDCD. Отрезки ALAL, BMBM и DKDK, где KK, LL, MM — соответственно середины сторон ABAB, BCBC, ADAD, ограничивают треугольник площадью 11. Найдите площадь трапеции.
Задача 6МГУ
Найдите все тройки действительных чисел x,y,zx,y,z из интервала (0,π2)(0,\dfrac{\pi}{2}), удовлетворяющих системе {sin⁡x=sin⁡y−sin⁡zcos⁡(x+z),cos⁡x=cos⁡z+cos⁡ycos⁡(x+z).\begin{cases} \sin x=\sin y-\sin z\cos(x+z),\\ \cos x=\cos z+\cos y\cos(x+z). \end{cases}
Задача 7МГУ
Дан параллелепипед ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' с основанием ABCDABCD и боковыми рёбрами AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD'. Найдите отношение, в котором делит его объём плоскость, проходящая через вершину AA, середину ребра BCBC и середину ребра C′D′C'D'.