ДВИ МГУ по математике — 2022, Поток 5

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (2227)23+(2722)23−1318\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{27}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{27}{2\sqrt{2}}\right)^{\frac{2}{3}}-\dfrac{13}{18}.
Задача 2МГУ
Сумма второго и восьмого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 929\sqrt{2}. Произведение четвёртого, пятого и шестого членов этой прогрессии равно 64. Найдите разность между девятым и первым членами этой прогрессии.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡4x+sin⁡ ⁣(x+π3)sin⁡ ⁣(x−π3)=0\sin^4 x+\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡6−x(6+x)+log⁡6+x(6−x)⩽5.\log_{\sqrt{6-x}}(6+x)+\log_{\sqrt{6+x}}(6-x)\leqslant 5.
Задача 5МГУ
Окружность, проходящая через вершины AA, BB треугольника ABCABC и центр описанной около этого треугольника окружности, пересекает стороны ACAC и BCBC в точках DD и EE соответственно. Найдите угол ∠BCA\angle BCA, если известно, что AB=2AB=\sqrt{2}, AC=3AC=\sqrt{3} и угол ∠BAE\angle BAE в два раза больше угла ∠ABD\angle ABD.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметров a,ba, b , при которых неравенство ,a3x4+2ax3+b≤2bx2+b3x+a,,a^3x^4+2ax^3+b\le 2bx^2+b^3x+a, выполняется для всех xx из отрезка [0,1].[0,1].
Задача 7МГУ
Дана правильная треугольная пирамида ABCSABCS с основанием ABCABC и вершиной SS. Плоскость π\pi перпендикулярна ребру ASAS и пересекает рёбра ASAS, BSBS в точках DD, EE соответственно. Известно, что SD=ADSD=AD и SE=2BESE=2BE. Найдите косинус угла между ребром ASAS и плоскостью основания ABCABC.