Сумма первых ста членов арифметической прогрессии равна 750. Найдите член этой прогрессии с номером 99, если известно, что второй член этой прогрессии равен 7.
Ответ:8
Решение
Данная сумма равна 50(a2+a99). Стало быть, a2+a99=50750=15, откуда a99=50750−7=15−7=8.
Положим t=21+2xx. Тогда 21+2x2+3x+21+2x1+3x⩽62⟺8t−1+2t⩽62⟺⟺(t−2)(t−22)⩽0⟺2⩽t⩽22⟺21⩽1+2xx⩽23⟺⟺0⩽1+2x−1и1+2x⩽−1⟺x⩽−43.
Задача 5МГУ
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, если известно, что ∠CDE=∠BAC и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 1.
Ответ:1
Решение
Заметим, что ∠ABC=∠DBE+∠CBE=∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠DAC=180∘−∠ADC=∠CDB. Стало быть, BC=CD, откуда видим, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC, равны.
Задача 6МГУ
Дан куб ABCDA′B′C′D′ с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины рёбер AB и AA′, и прямой, проходящей через середины рёбер BB′ и B′C′, если ребро куба равно 1.
Ответ:31
Решение
Заметим, что прямая, проходящая через середины рёбер AB и AA′, лежит в плоскости, проходящей через центр куба и перпендикулярной диагонали DB′. Прямая же, проходящая через середины рёбер BB′ и B′C′, лежит в плоскости, проходящей через середины рёбер BB′,B′C′,A′B′, которая также перпендикулярна диагонали DB′. При этом эта плоскость делит диагональ DB′ в отношении 1:5. Стало быть, искомое расстояние, равное расстоянию между рассмотренными двумя плоскостями, равно (21−61)DB′=33=31.
Заметим, что 
Заметим, что прямая, проходящая через середины рёбер