ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 6

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Сумма первых ста членов арифметической прогрессии равна 750750. Найдите член этой прогрессии с номером 9999, если известно, что второй член этой прогрессии равен 77.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡xcos⁡3x=sin⁡3xcos⁡5x\sin x\cos 3x = \sin 3x\cos 5x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство 22+3x1+2x+21+3x1+2x⩽62.2^{\frac{2+3x}{1+2x}}+2^{\frac{1+3x}{1+2x}}\leqslant 6\sqrt2.
Задача 5МГУ
На сторонах ABAB и ACAC треугольника ABCABC отмечены точки DD и EE соответственно. Точки B, C, E, DB,\,C,\,E,\,D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADCADC, если известно, что ∠CDE=∠BAC\angle CDE=\angle BAC и что радиус окружности, описанной около треугольника ABCABC, равен 1.
Задача 6МГУ
Дан куб ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' с основанием ABCDABCD и боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′AA',\ BB',\ CC',\ DD'. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины рёбер ABAB и AA′AA', и прямой, проходящей через середины рёбер BB′BB' и B′C′B'C', если ребро куба равно 11.