ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 2

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Дана возрастающая геометрическая прогрессия b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, состоящая из положительных чисел. Известно, что сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна второму члену, умноженному на 103\dfrac{10}{3}. Найдите отношение b6+b7+b8+b9+b10b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10} к b1+b2+b3+b4+b5b_1+b_2+b_3+b_4+b_5.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡x+cos⁡x=22 sin⁡xcos⁡x\sin x + \cos x = 2\sqrt{2}\,\sin x\cos x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡∣2x−12∣(x+1+1x)⩾log⁡∣2x−12∣(x2+1+1x2).\log_{\left|2x-\frac{1}{2}\right|}\left(x+1+\dfrac{1}{x}\right)\geqslant\log_{\left|2x-\frac{1}{2}\right|}\left(x^{2}+1+\dfrac{1}{x^{2}}\right).
Задача 5МГУ
На высоте AHAH остроугольного треугольника ABCABC как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны ABAB и ACAC в точках DD и EE соответственно. Найдите отношение BH:HCBH:HC, если DA:DB=2:1DA:DB=2:1 и AE:EC=3:1AE:EC=3:1.
Задача 6МГУ
Дан тетраэдр ABCDABCD. Известно, что AB=BC=CD=5AB=BC=CD=5 и CA=AD=DB=6CA=AD=DB=6. Найдите косинус угла между рёбрами BCBC и ADAD.