Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 5

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 555, а член с номером 545454 равен 160160160. Найдите член этой прогрессии с номером 646464.
Ответ:320

Решение

Пусть qqq — знаменатель прогрессии и пусть bkb_kbk​ — её член с номером k.k.k. Тогда b54=b4q50b_{54} = b_4 q^{50}b54​=b4​q50 и b64=b54q10=b54(b54b4)15=160⋅3215=160⋅2=320.b_{64} = b_{54} q^{10} = b_{54}\left(\dfrac{b_{54}}{b_4}\right)^{\frac{1}{5}} = 160 \cdot 32^{\frac{1}{5}} = 160 \cdot 2 = 320.b64​=b54​q10=b54​(b4​b54​​)51​=160⋅3251​=160⋅2=320.
Задача 3МГУ
Решите уравнение 9tg⁡2x−2cos⁡2x=29\tg^2 x - 2\cos 2x = 29tg2x−2cos2x=2.
Ответ:x=±π6+kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}x=±6π​+kπ, k∈Z

Решение

9tg⁡2x−2cos⁡2x=2  ⟺  9cos⁡2x−9−2(2cos⁡2x−1)=29\tg^2 x - 2\cos 2x = 2 \iff \frac{9}{\cos^2 x}-9-2(2\cos^2 x-1)=29tg2x−2cos2x=2⟺cos2x9​−9−2(2cos2x−1)=2   ⟺  4cos⁡4x+9cos⁡2x−9=0  ⟺  (4cos⁡2x−3)(cos⁡2x+3)=0  ⟺  cos⁡x=±32\iff 4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0 \iff (4\cos^2 x-3)(\cos^2 x+3)=0 \iff \cos x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}⟺4cos4x+9cos2x−9=0⟺(4cos2x−3)(cos2x+3)=0⟺cosx=±23​​   ⟺  x=±π6+kπ, k∈Z\iff x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}⟺x=±6π​+kπ, k∈Z
Задача 4МГУ
Решите неравенство 8+log⁡x8⩽4log⁡x17x2−2.8+\log_{\sqrt x}8\leqslant 4\log_{x}\sqrt{17x^{2}-2}.8+logx​​8⩽4logx​17x2−2​.
Ответ:x∈(217,18]∪(1,2]x\in\left(\sqrt{\tfrac{2}{17}},\dfrac{1}{\sqrt8}\right]\cup\left(1,\sqrt2\right]x∈(172​​,8​1​]∪(1,2​]

Решение

8+log⁡x8⩽4log⁡x17x2−2  ⟺  log⁡x(8x4)⩽log⁡x(17x2−2)  ⟺  8+\log_{\sqrt x}8\leqslant 4\log_{x}\sqrt{17x^{2}-2}\iff\log_{x}(8x^{4})\leqslant\log_{x}(17x^{2}-2)\iff8+logx​​8⩽4logx​17x2−2​⟺logx​(8x4)⩽logx​(17x2−2)⟺   ⟺  {x>2178x4−17x2+2x−1⩽0  ⟺  {x>217(8x2−1)(x2−2)x−1⩽0  ⟺  x∈(217,18]∪(1,2].\iff\begin{cases}x>\sqrt{\dfrac{2}{17}}\\[1mm]\dfrac{8x^{4}-17x^{2}+2}{x-1}\leqslant 0\end{cases}\iff\begin{cases}x>\sqrt{\dfrac{2}{17}}\\[1mm]\dfrac{(8x^{2}-1)(x^{2}-2)}{x-1}\leqslant 0\end{cases}\iff x\in\left(\sqrt{\tfrac{2}{17}},\dfrac{1}{\sqrt8}\right]\cup\left(1,\sqrt2\right].⟺⎩⎨⎧​x>172​​x−18x4−17x2+2​⩽0​⟺⎩⎨⎧​x>172​​x−1(8x2−1)(x2−2)​⩽0​⟺x∈(172​​,8​1​]∪(1,2​].
Задача 5МГУ
Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.
Ответ:18

Решение

Изображение 1 Рассмотрим одну из диагоналей. Она делит трапецию на два треугольника, средние линии которых относятся как 2:1.2:1.2:1. Стало быть, одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Поскольку из произведения оснований 18,18,18, эти основания равны 666 и 3.3.3. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть периметр равен 2(6+3)=18.2(6+3)=18.2(6+3)=18.
Задача 6МГУ
В основании четырёхугольной пирамиды ABCDSABCDSABCDS лежит параллелограмм ABCDABCDABCD. На ребре SBSBSB отмечена точка EEE, так что SE:EB=2:1SE:EB=2:1SE:EB=2:1. На ребре SDSDSD отмечена точка FFF, так что SF:FD=1:2SF:FD=1:2SF:FD=1:2. Найдите отношение, в котором плоскость AEFAEFAEF делит объём пирамиды.
Ответ:1:6

Решение

Изображение 1 Проведём через точки B,C,DB, C, DB,C,D соответственно прямые lB,lC,lD,l_B, l_C, l_D,lB​,lC​,lD​, параллельные AS.AS.AS. Обозначим через B′,C′,D′B', C', D'B′,C′,D′ соответственно точки пересечения плоскости AEFAEFAEF с прямыми lB,lC,lD.l_B, l_C, l_D.lB​,lC​,lD​. Тогда BB′=23AS,DD′=2AS,BB'=\tfrac23 AS, DD'=2AS,BB′=32​AS,DD′=2AS, откуда CC′=83AS.CC'=\tfrac83 AS.CC′=38​AS. Пусть GGG — точка пересечения плоскости AEFAEFAEF с CS.CS.CS. Тогда SG:GC=2:5.SG:GC=2:5.SG:GC=2:5. Далее, vol⁡(AEGFS)=vol⁡(AEFS)+vol⁡(EGFS)=\operatorname{vol}(AEGFS)=\operatorname{vol}(AEFS)+\operatorname{vol}(EGFS)=vol(AEGFS)=vol(AEFS)+vol(EGFS)= =23⋅13⋅13⋅vol⁡(ABDS)+23⋅13⋅27⋅vol⁡(BCDS)==\tfrac23\cdot\tfrac13\cdot\tfrac13\cdot\operatorname{vol}(ABDS)+\tfrac23\cdot\tfrac13\cdot\tfrac27\cdot\operatorname{vol}(BCDS)==32​⋅31​⋅31​⋅vol(ABDS)+32​⋅31​⋅72​⋅vol(BCDS)= =(23⋅13⋅13+23⋅13⋅27)⋅12vol⁡(ABCDS)=17vol⁡(ABCDS).=\left(\tfrac23\cdot\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac23\cdot\tfrac13\cdot\tfrac27\right)\cdot\tfrac12\operatorname{vol}(ABCDS)=\tfrac17\operatorname{vol}(ABCDS).=(32​⋅31​⋅31​+32​⋅31​⋅72​)⋅21​vol(ABCDS)=71​vol(ABCDS). Стало быть, искомое отношение равно 1:6.1:6.1:6.
Задача 7МГУ
Найдите все положительные значения параметра a,a,a, при которых сумма различных корней уравнения ,log⁡2(ax)+log⁡2(1−x)=cos⁡((x−x2)aπ),,\log_2(ax)+\log_2(1-x)=\cos \big((x-x^2)a\pi\big),,log2​(ax)+log2​(1−x)=cos((x−x2)aπ), максимальна.
Ответ:a>8

Решение

Положим t=a(x−x2).t=a(x-x^2).t=a(x−x2). Тогда 0<t≤a4,0<t\le \dfrac{a}{4},0<t≤4a​, и уравнение переписывается как log⁡2t=cos⁡(πt).\log_2 t=\cos(\pi t).log2​t=cos(πt). При t=a4t=\dfrac{a}{4}t=4a​ имеем x=12.x=\dfrac{1}{2}.x=21​. При 0<t<a40<t<\dfrac{a}{4}0<t<4a​ значение xxx восстанавливается двояко, но при этом сумма этих значений равна 1.1.1. Стало быть, сумма корней исходного уравнения равна количеству корней уравнения log⁡2t=cos⁡(πt)\log_2 t=\cos(\pi t)log2​t=cos(πt) на промежутке (0,a4),(0,\dfrac{a}{4}),(0,4a​), к которому прибавляется 12\dfrac{1}{2}21​ в том случае, если t=a4t=\dfrac{a}{4}t=4a​ является решением. Заметим, что t=2t=2t=2 является решением. При t>2t>2t>2 справедливо log⁡2t>1≥cos⁡(πt).\log_2 t>1\ge\cos(\pi t).log2​t>1≥cos(πt). Таким образом, при a>8a>8a>8 сумма корней исходного уравнения равна количеству NNN корней уравнения log⁡2t=cos⁡(πt)\log_2 t=\cos(\pi t)log2​t=cos(πt) на промежутке (0,2].(0,2].(0,2]. При a=8a=8a=8 эта сумма равна N−12.N-\dfrac{1}{2}.N−21​. Если же a<8,a<8,a<8, то сумма не превосходит N−1.N-1.N−1. Стало быть, сумма максимальна при a>8.a>8.a>8.