ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 1

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Известно, что f(x)=x1+x+1−xx−124f(x)=\dfrac{x}{1+x}+\dfrac{1-x}{x}-\dfrac{1}{24}. Найдите f(35)f\left(\dfrac{3}{5}\right).
Задача 2МГУ
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 105, которые делятся на 3, но не делятся на 5.
Задача 3МГУ
Решите уравнение tg⁡2x=2cos⁡2x ctg⁡x\tg 2x = 2\cos 2x\,\ctg x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡2x16−log⁡4x8⩽1.\log_{2x}16-\log_{4x}8\leqslant 1.
Задача 5МГУ
В равнобедренном треугольнике ABCABC с равными сторонами ABAB и BCBC проведены биссектрисы ADAD и CECE. Окружность, вписанная в треугольник ABCABC, касается сторон ABAB и BCBC в точках KK и LL соответственно. Найдите DEDE, если AC=12AC=12 и KL=9KL=9.
Задача 6МГУ
Дана треугольная призма ABCA′B′C′ABCA'B'C' с основанием ABCABC и боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′AA',\ BB',\ CC'. На диагоналях AB′, BC′, CA′AB',\ BC',\ CA' отмечены точки D, E, FD,\ E,\ F соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость DEFDEF делит отрезок AA′AA', если AD:DB′=1:1, BE:EC′=1:2, CF:FA′=1:3AD:DB'=1:1,\ BE:EC'=1:2,\ CF:FA'=1:3.
Задача 7МГУ
Найдите все положительные значения параметра a,a, при которых уравнение ,log⁡2−x(a2+x+2a1−x+x−1)+log⁡2+x(a2−x+2a1+x−x−1)=2,,\log_{2-x}\left(a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1\right)+\log_{2+x}\left(a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1\right)=2, имеет ровно одно решение (относительно xx ).