Числа a1,a2,a3,…,a20 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму a6+a7+…+a14+a15.
Ответ:10
Решение
Пусть d — разность прогрессии. Тогда a1+…+a10=10a6−5d=9 и a11+…+a20=10a15+5d=11. Складывая, получаем 10a6+10a15=20,a6+a15=2. Стало быть, a6+…+a15=210(a6+a15)=5⋅2=10.
Положим t=(23)x. Тогда 3x−2x+1⩽2⋅9x−10⋅6x+8⋅4x⟺t−2⩽2t2−10t+8⟺⟺{t⩽22t2−10t+8⩾0или{t>2(t−2)2⩽2t2−10t+8⟺{t⩽1t⩾3+5⟺x∈(−∞,0]∪[log23(3+5),+∞).
Задача 5МГУ
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены биссектриса AL и высота CH. Найдите косинус угла ∠BAC, если HL∥AC.
Ответ:25−1
Решение
Положим AC=a,CH=h,AH=x,BH=y. Тогда, поскольку AL — биссектриса, yx=BLCL=y+aa. Учитывая, что xy=h2, получаем ay=x2+xy=x2+h2=a2. Стало быть, y=a и x2+ax−a2=0. Отсюда (ax)2+ax−1=0⇒ax=25−1. Остаётся заметить, что искомый косинус равен ax.
Задача 6МГУ
Дан куб ABCDA′B′C′D′ с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. Найдите объём многогранника с вершинами, являющимися серединами рёбер AB,AD,AA′,CC′,C′B′,C′D′, если известно, что ребро куба равно 1.
Ответ:31
Решение
Обозначим середины рёбер AB,AA′,AD,C′D′,CC′,C′B′ соответственно E,F,G,K,L,M. Исследуемый многогранник является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием EGKM и вершинами F и L. Пусть P — точка пересечения плоскости EGKM с прямой AA′. Тогда AP=AF, то есть объём пирамиды EGKMF в два раза больше объёма пирамиды EGKMA. Аналогично, объём пирамиды EGKML в два раза больше объёма пирамиды EGKMC′. Далее, многогранник AEGKMC′ является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием AEC′K и вершинами G и M. Объём пирамиды AEC′KG в два раза меньше объёма пирамиды AEC′KD, а объём пирамиды AEC′KM в два раза меньше объёма пирамиды AEC′KB′. Наконец, многогранник DAEC′KB′ является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием ADC′B′ и вершинами E и K. Объём пирамиды ADC′B′E в два раза меньше объёма пирамиды ADC′B′B, а объём пирамиды ADC′B′K в два раза меньше объёма пирамиды ADC′B′D′. Итак, объём исходного многогранника в два раза меньше объёма многогранника ABDB′C′D′, который дополняется до куба тетраэдрами AA′B′D′ и BCDC′. Объёмы тетраэдров равны по 61. Стало быть, искомый объём равен 21−31=31.
Задача 7МГУ
Найдите все значения параметра a из промежутка [0,2π), при которых уравнение ,23x2−xy+23y2=xcosa+ysina, имеет хотя бы одно решение (x,y), отличное от (0,0).
Ответ:a=4π,45π
Решение
Перепишем подкоренное выражение: 23x2−xy+23y2=(x2+y2)+21(x−y)2≥x2+y2, причём равенство достигается в точности когда x=y. Поэтому для того, чтобы равенство из задачи выполнялось, необходимо x=y. При x=y исходное уравнение принимает вид ∣x∣2=x2sin(a+4π). Оно имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда sin(a+4π)=±1, то есть при a=4π+kπ,k∈Z. На промежутке [0,2π):a=4π,45π.
Положим 
Обозначим середины рёбер