ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 3

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Числа a1,a2,a3,…,a20a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{20} образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 99, а сумма последних десяти членов равна 1111. Найдите сумму a6+a7+…+a14+a15a_6+a_7+\ldots+a_{14}+a_{15}.
Задача 3МГУ
Решите уравнение cos⁡x⋅(2cos⁡x−cos⁡3x)=1\cos x\cdot(2\cos x-\cos 3x)=1.
Задача 4МГУ
Решите неравенство 3x−2x+1⩽2⋅32x−10⋅6x+22x+3.3^{x}-2^{x+1}\leqslant\sqrt{2\cdot 3^{2x}-10\cdot 6^{x}+2^{2x+3}}.
Задача 5МГУ
В прямоугольном треугольнике ABCABC с прямым углом CC проведены биссектриса ALAL и высота CHCH. Найдите косинус угла ∠BAC\angle BAC, если HL∥ACHL\parallel AC.
Задача 6МГУ
Дан куб ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' с основанием ABCDABCD и боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′AA',\ BB',\ CC',\ DD'. Найдите объём многогранника с вершинами, являющимися серединами рёбер AB, AD, AA′, CC′, C′B′, C′D′AB,\ AD,\ AA',\ CC',\ C'B',\ C'D', если известно, что ребро куба равно 11.
Задача 7МГУ
Найдите все значения параметра aa из промежутка [0,2π),[0,2\pi), при которых уравнение ,32x2−xy+32y2=xcos⁡a+ysin⁡a,,\sqrt{\dfrac{3}{2}x^2-xy+\dfrac{3}{2}y^2}=x\cos a+y\sin a, имеет хотя бы одно решение (x,y),(x,y), отличное от (0,0).(0,0).