ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 4

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Дана арифметическая прогрессия. Её двадцатый член равен 11, а член с номером 20002000 равен 199199. Найдите член этой прогрессии с номером 20202020.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡ ⁣(x−π3)−cos⁡ ⁣(x+π6)=sin⁡ ⁣(x+π3)+cos⁡ ⁣(x−π6)+3\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x(log⁡2(10x−4−4x2))⩾log⁡2(log⁡x(10x−4−4x2)).\log_{x}\left(\log_{\sqrt2}(10x-4-4x^{2})\right)\geqslant\log_{\sqrt2}\left(\log_{x}(10x-4-4x^{2})\right).
Задача 5МГУ
Окружность, проходящая через вершины AA и BB прямоугольника ABCDABCD, пересекает сторону BCBC в точке EE, а диагональ ACAC — в точке FF. Найдите площадь четырёхугольника ABEFABEF, если BE=8BE=8, EC=4EC=4, а точки DD, FF, EE лежат на одной прямой.
Задача 6МГУ
Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если длина ребра её основания равна 1212.
Задача 7МГУ
Найдите все значения параметра a,a, при которых уравнение ,2x2y2+x2y+xy2+(1−a)(x2+y2)−a(x+y+2)=0,,2x^2y^2+x^2y+xy^2+(1-a)(x^2+y^2)-a(x+y+2)=0, имеет ровно одно решение (относительно (x,y)(x,y) ).