Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2020, Поток 4

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 2МГУ
Дана арифметическая прогрессия. Её двадцатый член равен 111, а член с номером 200020002000 равен 199199199. Найдите член этой прогрессии с номером 202020202020.
Ответ:201

Решение

Пусть ddd — разность прогрессии и пусть aka_kak​ — её член с номером k.k.k. Тогда a2000=a20+1980d,a_{2000} = a_{20} + 1980 d,a2000​=a20​+1980d, a2020=a2000+20 d=a2000+a2000−a2099a_{2020} = a_{2000} + 20\,d = a_{2000} + \dfrac{a_{2000}-a_{20}}{99}a2020​=a2000​+20d=a2000​+99a2000​−a20​​ =199+19899=199+2=201.= 199 + \dfrac{198}{99} = 199 + 2 = 201.=199+99198​=199+2=201.
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin⁡ ⁣(x−π3)−cos⁡ ⁣(x+π6)=sin⁡ ⁣(x+π3)+cos⁡ ⁣(x−π6)+3\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}sin(x−3π​)−cos(x+6π​)=sin(x+3π​)+cos(x−6π​)+3​.
Ответ:x=±2π3+2kπ, k∈Zx=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}x=±32π​+2kπ, k∈Z

Решение

sin⁡ ⁣(x−π3)−cos⁡ ⁣(x+π6)=sin⁡ ⁣(x+π3)+cos⁡ ⁣(x−π6)+3\sin\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}sin(x−3π​)−cos(x+6π​)=sin(x+3π​)+cos(x−6π​)+3​   ⟺  2sin⁡ ⁣(x−π3)=2sin⁡ ⁣(x+π3)+3  ⟺  4cos⁡xsin⁡π3=−3\iff 2\sin\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \iff 4\cos x\sin\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}⟺2sin(x−3π​)=2sin(x+3π​)+3​⟺4cosxsin3π​=−3​   ⟺  cos⁡x=−12  ⟺  x=±2π3+2kπ, k∈Z\iff \cos x=-\frac{1}{2} \iff x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}⟺cosx=−21​⟺x=±32π​+2kπ, k∈Z
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x(log⁡2(10x−4−4x2))⩾log⁡2(log⁡x(10x−4−4x2)).\log_{x}\left(\log_{\sqrt2}(10x-4-4x^{2})\right)\geqslant\log_{\sqrt2}\left(\log_{x}(10x-4-4x^{2})\right).logx​(log2​​(10x−4−4x2))⩾log2​​(logx​(10x−4−4x2)).
Ответ:x∈(12,5−55)∪(5+55,5+54)x\in\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5-\sqrt5}{5}\right)\cup\left(\dfrac{5+\sqrt5}{5},\dfrac{5+\sqrt5}{4}\right)x∈(21​,55−5​​)∪(55+5​​,45+5​​)

Решение

Опишем ОДЗ x:x:x: {10x−4−4x2>0log⁡2(10x−4−4x2)>0  ⟺  {12<x<24x2−10x+5x−1<0  ⟺  x∈(12,5−54)∪(1,5+54).\begin{cases}10x-4-4x^{2}>0\\[1mm]\log_{\sqrt2}(10x-4-4x^{2})>0\end{cases}\iff\begin{cases}\dfrac{1}{2}<x<2\\[1mm]\dfrac{4x^{2}-10x+5}{x-1}<0\end{cases}\iff x\in\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5-\sqrt5}{4}\right)\cup\left(1,\dfrac{5+\sqrt5}{4}\right).{10x−4−4x2>0log2​​(10x−4−4x2)>0​⟺⎩⎨⎧​21​<x<2x−14x2−10x+5​<0​⟺x∈(21​,45−5​​)∪(1,45+5​​). Далее, пусть x>1.x>1.x>1. Тогда исходное неравенство при xxx из ОДЗ равносильно неравенству 2log⁡x(10x−4−4x2)⩾log⁡22(10x−4−4x2),2\log_{x}(10x-4-4x^{2})\geqslant\log_2^{2}(10x-4-4x^{2}),2logx​(10x−4−4x2)⩾log22​(10x−4−4x2), то есть неравенству log⁡x(10x−4−4x2)⩽2,\log_{x}(10x-4-4x^{2})\leqslant 2,logx​(10x−4−4x2)⩽2, то есть 10x−4−4x2⩽x2.10x-4-4x^{2}\leqslant x^{2}.10x−4−4x2⩽x2. Если же x<1,x<1,x<1, то исходное неравенство при xxx из ОДЗ равносильно неравенству 2log⁡x(10x−4−4x2)⩽log⁡22(10x−4−4x2),2\log_{x}(10x-4-4x^{2})\leqslant\log_2^{2}(10x-4-4x^{2}),2logx​(10x−4−4x2)⩽log22​(10x−4−4x2), то есть неравенству log⁡x(10x−4−4x2)⩾2,\log_{x}(10x-4-4x^{2})\geqslant 2,logx​(10x−4−4x2)⩾2, опять же 10x−4−4x2⩾x2.10x-4-4x^{2}\geqslant x^{2}.10x−4−4x2⩾x2. Учитывая, 10x−4−4x2⩽x2  ⟺  5x2−10x+4⩾0  ⟺  x∈(−∞,5−55]∪[5+55,+∞),10x-4-4x^{2}\leqslant x^{2}\iff 5x^{2}-10x+4\geqslant 0\iff x\in\left(-\infty,\dfrac{5-\sqrt5}{5}\right]\cup\left[\dfrac{5+\sqrt5}{5},+\infty\right),10x−4−4x2⩽x2⟺5x2−10x+4⩾0⟺x∈(−∞,55−5​​]∪[55+5​​,+∞), получаем x∈(12,5−55)∪(5+55,5+54).x\in\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5-\sqrt5}{5}\right)\cup\left(\dfrac{5+\sqrt5}{5},\dfrac{5+\sqrt5}{4}\right).x∈(21​,55−5​​)∪(55+5​​,45+5​​).
Задача 5МГУ
Окружность, проходящая через вершины AAA и BBB прямоугольника ABCDABCDABCD, пересекает сторону BCBCBC в точке EEE, а диагональ ACACAC — в точке FFF. Найдите площадь четырёхугольника ABEFABEFABEF, если BE=8BE=8BE=8, EC=4EC=4EC=4, а точки DDD, FFF, EEE лежат на одной прямой.
Ответ:22322\sqrt{3}223​

Решение

Изображение 1 Поскольку четырёхугольник ABEFABEFABEF вписан в окружность, угол ∠AFE\angle AFE∠AFE прямой. Следовательно, треугольники ECF,CDF,DAFECF, CDF, DAFECF,CDF,DAF подобны. Поскольку CE=4,AD=12,CE=4, AD=12,CE=4,AD=12, из этого подобия получаем CD=43.CD=4\sqrt{3}.CD=43​. Стало быть, площадь S(ABC)S(ABC)S(ABC) треугольника ABCABCABC равна 243.24\sqrt{3}.243​. Далее, из того же подобия следует, что AF=3CF.AF=3CF.AF=3CF. Стало быть, S(FEC)=13S(ABC)=23.S(FEC)=\dfrac{1}{3} S(ABC)=2\sqrt{3}.S(FEC)=31​S(ABC)=23​. Тогда площадь четырёхугольника ABEFABEFABEF равна 243−23=223.24\sqrt{3}-2\sqrt{3}=22\sqrt{3}.243​−23​=223​.
Задача 6МГУ
Дана правильная треугольная пирамида. Известно, что центр сферы, описанной около этой пирамиды, равноудалён от боковых рёбер и от плоскости основания пирамиды. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду, если длина ребра её основания равна 121212.
Ответ:13−1\sqrt{13}-113​−1

Решение

Изображение 1 Пусть ABCABCABC — основание пирамиды, SSS — вершина, HHH — центр треугольника ABC,ABC,ABC, MMM — середина AB,O1AB, O_1AB,O1​ — центр описанной сферы, O2O_2O2​ — центр вписанной сферы. Поскольку точка O1O_1O1​ равноудалена от ASASAS и ABC,AO1ABC, AO_1ABC,AO1​ — биссектриса треугольника ASH.ASH.ASH. Стало быть, ∠HAO1=∠SAO1=∠ASO1=30∘.\angle HAO_1=\angle SAO_1=\angle ASO_1=30^\circ.∠HAO1​=∠SAO1​=∠ASO1​=30∘. Поскольку AB=12,AB=12,AB=12, имеем AH=43,AH=4\sqrt{3},AH=43​, откуда O1H=4,O1A=O1S=8.O_1H=4, O_1A=O_1S=8.O1​H=4,O1​A=O1​S=8. Для треугольника MSHMSHMSH имеем SH=12,MH=23,SH=12, MH=2\sqrt{3},SH=12,MH=23​, откуда SM=239.SM=2\sqrt{39}.SM=239​. Поскольку MO2MO_2MO2​ — биссектриса, SO2=HO2⋅SMMH=HO213.SO_2=\dfrac{HO_2\cdot SM}{MH}=HO_2\sqrt{13}.SO2​=MHHO2​⋅SM​=HO2​13​. Стало быть, HO2(1+13)=SH=12,HO_2(1+\sqrt{13})=SH=12,HO2​(1+13​)=SH=12, откуда HO2=13−1.HO_2=\sqrt{13}-1.HO2​=13​−1.
Задача 7МГУ
Найдите все значения параметра a,a,a, при которых уравнение ,2x2y2+x2y+xy2+(1−a)(x2+y2)−a(x+y+2)=0,,2x^2y^2+x^2y+xy^2+(1-a)(x^2+y^2)-a(x+y+2)=0,,2x2y2+x2y+xy2+(1−a)(x2+y2)−a(x+y+2)=0, имеет ровно одно решение (относительно (x,y)(x,y)(x,y) ).
Ответ:a=0

Решение

Если пара (x,y)(x,y)(x,y) — решение, то и пара (y,x)(y,x)(y,x) — тоже решение. Стало быть, если решение единственно, обязано выполняться x=y.x=y.x=y. Тогда исходное уравнение принимает вид (x2−a)(x+1)=0.(x^2-a)(x+1)=0.(x2−a)(x+1)=0. Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось x=−1.x=-1.x=−1. Тогда a=0.a=0.a=0. Левая часть равна x2(y2+y+1)+y2(x2+x+1)+x2+y2,x^2(y^2+y+1)+y^2(x^2+x+1)+x^2+y^2,x2(y2+y+1)+y2(x2+x+1)+x2+y2, поэтому при a=0a=0a=0 она равна нулю лишь при x=y=0,x=y=0,x=y=0, и, действительно, даёт единственное решение.