Планиметрия: В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаСтатГрад 14.02.2024

В треугольнике

ABC

биссектрисы

AK

BL

пересекаются в точке

I

.
Известно, что около четырёхугольника

CKIL

можно описать окружность.

а) Докажите, что угол

BCA

равен

60^\circ

.

б) Найдите площадь треугольника

ABC

, если его периметр равен

32

IC = 6

Решение

а)
Обозначим

\angle BCA=\alpha.

Так как

AK

BL

— биссектрисы, возьмём

\angle CAI=\angle IAB=x,\\\angle CBI=\angle IBA=y.

Тогда, по сумме углов в

\triangle ABC

\alpha+2x+2y=180^\circ,\\2x+2y=180^\circ-\alpha,\\x+y=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}.

По сумме углов в

\triangle AIB

\angle AIB=180^\circ-x-y.

Подставим найденное значение

x+y

\angle AIB=180^\circ-\left(90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}\right)=90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}.

Углы

\angle AIB

\angle KIL

вертикальные, значит,

\angle KIL=90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}.

Так как около четырёхугольника

CKIL

можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна

180^\circ

\angle KCL+\angle KIL=180^\circ,\\\alpha+\left(90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}\right)=180^\circ,\\\dfrac{3\alpha}{2}=90^\circ,\\\alpha=60^\circ.

Значит,

\angle BCA=60^\circ

. Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) известно, что

\angle BCA=60^\circ

.

Точка

I

— точка пересечения биссектрис, значит, она является центром вписанной окружности

\triangle ABC

, а

CI

— тоже биссекрисса.

Опустим перпендикуляр

II_a

на сторону

BC

. Тогда

II_a

— радиус вписанной окружности.

Так как

CI

— биссектриса угла

C

, то

\angle ICI_a = \dfrac{\angle BCA}{2} = \dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ.

По условию

IC=6

. Тогда в прямоугольном

\triangle CII_a

катет, лежащий против угла

30^\circ

, равен половине гипотенузы, то есть

II_a=\dfrac{CI}{2}=\dfrac{6}{2}=3.

Периметр

\triangle ABC

равен

32

, значит, полупериметр равен

p=\dfrac{32}{2}=16.

Тогда площадь

\triangle ABC

равна

S_{\triangle ABC}=pr=16\cdot 3=48.

Ответ: б)

48

Похожие задачи