Планиметрия: В треугольнике A B C продолжения высоты C C₁ и... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаФИПИ

В треугольнике

A B C

продолжения высоты

C C_{1}

и биссектрисы

B B_{1}

пересекают описанную окружность в точках

N

M

соответственно,

\angle A B C=40^{\circ}, \angle A C B=85^{\circ}

.

a) Докажите, что

B M=C N

.

б) Прямые

B C

M N

пересекаются в точке

D

. Найдите площадь треугольника

B D N

, если его высота

B H

равна

6

Решение

а) Так как

BB_1

— биссектриса, то

\angle MBC = \angle ABM = \dfrac{40^\circ}{2} = 20^\circ

.

Найдём угол

BCC_1

из прямоугольного треугольника

BCC_1

\angle{BCC_1} = 90^{\circ} - \angle{CBC_1} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ.

Тогда

\angle ACN = 85^\circ - 50^\circ = 35^\circ

Рисунок 1 к решению задачи №18: Окружности

Получаем:

1) Вписанный угол

ACN

опирается на дугу

NA

, поэтому

\overset{\smile}{AN} = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ

.
2) Вписанный угол

BCN

опирается на дугу

BN

, поэтому

\overset{\smile}{BN} = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ

.
3) Вписанный угол

ABM

опирается на дугу

AM

, поэтому

\overset{\smile}{AM} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ

.
4) Вписанный угол

ABC

опирается на дугу

AC

, поэтому

\overset{\smile}{AC} = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ

.

Найдём дугу

MB

\overset{\smile}{BM} = 360^{\circ} - \overset{\smile}{MB} = 360^{\circ} - (\overset{\smile}{AN} + \overset{\smile}{BN} + \overset{\smile}{BC}) =

= 360^{\circ} - (70^\circ + 100^\circ + 40^\circ) = 360^{\circ} - 210^{\circ} = 150^{\circ}.

Найдём дугу

NC

\overset{\smile}{NC} = \overset{\smile}{NA} + \overset{\smile}{AC} = 80^\circ + 70^\circ = 150^\circ.

Таким образом,

\overset{\smile}{BM} = \overset{\smile}{NC} = 150^\circ

. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно,

BM = CN

.

б) Угол

MNB

опирается на дугу

MB

, равную

150^\circ

, поэтому:

\angle MNB = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ.

Угол

CBN

опирается на дугу

NC = 150^\circ

, поэтому:

\angle CBN = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ.

Рисунок 2 к решению задачи №18: Окружности

В треугольнике

BDN

углы при вершинах

B

N

равны

75^\circ

, значит, треугольник

BDN

равнобедренный и

BD = DN

. Следовательно,

\angle BDN = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ.

В прямоугольном треугольнике

BDH

угол

BDH

равен

30^\circ

. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла

30^\circ

, равен половине гипотенузы, поэтому

BH = \frac{BD}{2} \quad \Rightarrow \quad BD = 2 \cdot 6 = 12.

Так как

BD = DN

, то

DN = 12

.

Площадь треугольника

BDN

равна

S = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36.

Ответ:

36

Планиметрия: В треугольнике A B C продолжения высоты C C₁ и... —...

Похожие задачи