На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.
а) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 10 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?
б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 12 цифр?
в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 22 цифры?
Решение
а) Да, если взять числа 10, 100 и 10 000.
б) Если первое число однозначное, то его квадрат -- максимум двузначный, а четвёртая степень -- четырёхзначная. То есть максимум на доске может быть 7 цифр, такой вариант не подходит.
Если первое число трёхзначное, то его квадрат -- минимум пятизначный, а четвёртая степень -- десятизначная. То есть минимум на доске может быть 17 цифр, такой вариант не подходит.
При увеличении разрядности исходного числа количество цифр в последующих числах на деле не убывает (*).
Рассмотрим двузначные числа. При n=3 возможны два варианта.
1) 2⟶3⟶7, но 9992<10002=1000000. 2) 2⟶4⟶6, но квадрат четырёхзначного числа -- минимум семизначный, такой вариант не подходит.
Во всех рассмотренных случаях получили противоречие.
в) Если первое число однозначное, то его квадрат -- максимум двузначное, четвёртая степень -- максимум четырёхзначная, а восьмая степень -- максимум восьмизначная. То есть на доске будет записано максимум 15 цифр, что не подходит.
Рассмотрим двузначные числа. Можно заметить, что n=20 подходит:
2⟶400⟶160000⟶25600000000,22 цифры. С учётом (*) получаем следующий набор случаев:
2⟶3⟶5⟶12, но квадрат пятизначного числа -- максимум десятизначное число, этот вариант не подходит.
2⟶3⟶6⟶11. Рассмотрим переход между вторым и третьим числом.
При n=19:192=361,194=90000+2⋅18300+612>105,подходит;182=324,184=90000+2⋅7200+242>105,подходит;172=289,174=90000−2⋅3300+112<105,неподходит; Проверим n=18:18⟶324⟶104976⟶1049762, 1049762=1010+2⋅4976⋅105+49762<1010+2⋅5000⋅105+50002=1010+109+25⋅106<1011. Получаем, что это число одиннадцатизначное и удовлетворяет условию задачи.
