На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A=B⋅C, если A>140?
б) Может ли быть верным уравнение A=B⋅C, если 440⩽A<500?
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A=B⋅C.
Решение
а)Например, возьмём
A=150.
Если зачеркнуть цифру 5, получим число 10. Если зачеркнуть цифру 0, получим число 15.
Тогда
10⋅15=150.
Значит, уравнение A=B⋅C может быть верным.
б) Пусть
440⩽A<500.
Заметим, что тогда при зачёркивании любой цифры из числа A получается двузначное число, не меньшее 40.
Значит,
B⩾40,C⩾40.
Тогда
B⋅C⩾40⋅40=1600.
Но по условию
A<500.
Получили противоречие с равенством A=B⋅C.
Следовательно, уравнение A=B⋅C при 440⩽A<500 быть верным не может.
в) Покажем сначала, что число
A=810 подходит.
Если зачеркнуть цифру 0, получим число 81. Если зачеркнуть цифру 8, получим число 10.
Тогда
81⋅10=810.
Значит, A=810 подходит.
Теперь докажем, что большее число взять нельзя.
Рассмотрим сначала числа
830⩽A<900.
Если из такого числа зачеркнуть любую цифру, то полученное двузначное число будет не меньше 30.
Следовательно,
B⩾30,C⩾30.
Тогда
B⋅C⩾30⋅30=900.
Но
A<900.
Получили противоречие. Значит, чисел A от 830 до 899, которые подходят, нет.
Осталось проверить числа
811⩽A⩽829.
Пусть
A=8bc.
Если зачеркнуть не первую цифру, то получится число, не меньшее 80. Если зачеркнуть первую цифру, то получится число bc, причём
11⩽bc⩽29.
Если хотя бы одно из чисел B и C получено не зачёркиванием первой цифры, то это число не меньше 80, а второе число не меньше 11. Тогда
B⋅C⩾80⋅11=880.
Но для рассматриваемых чисел
A⩽829.
Это невозможно.
Значит, оба числа B и C должны получаться зачёркиванием первой цифры. Тогда
B=C=bc.
То есть
A=bc2.
Но среди чисел от 811 до 829 нет квадратов натуральных чисел, так как
282=784,292=841.
Следовательно, среди чисел от 811 до 829 подходящих тоже нет.
