Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску 5 различных натуральных чисел и находит их среднее арифметическое. Полина выбирает 2 числа из чисел Юры и находит их среднее арифметическое. Далее она выбирает третье число из чисел Юры и находит среднее арифметическое между первым полученным ей результатом и выбранным числом. Далее она находит среднее арифметическое полученного результата и четвертого нового числа из написанных Юрой. Наконец, она находит среднее арифметическое полученного результата и оставшегося числа, написанного Юрой.
а) Могут ли результаты у Юры и Полины получиться одинаковыми?
б) Может ли результат Полины быть в 3 раза больше, чем у Юры?
в) В какое максимальное натуральное число раз результат Полины может быть больше, чем у Юры?
Решение
а) Да, если взять числа 5,3,2,1,4. Их среднее арифметическое равно
51(1+2+3+4+5)=3, а Полина последовательно получила
25+3=4,24+2=3,23+1=2,22+4=3.
б) Пусть числа a1,a2,a3,a4,a5 расположены в том порядке, в котором брала Полина. Тогда Полина получила
((((a1+a2)⋅21+a3)⋅21+a4)⋅21+a5)⋅21, то есть
16a1+16a2+8a3+4a4+2a5=16a1+a2+2a3+4a4+8a5. По условию,
53(a1+a2+a3+a4+a5)=16a1+a2+2a3+4a4+8a5;⋅8048a1+48a2+48a3+48a4+48a5=5a1+5a2+10a3+20a4+40a5;43a1+43a2+38a3+28a4+8a5=0, что невозможно для натуральных чисел.
в) Пусть результат Полины в k раз больше результата Юры, получаем уравнение
5k(a1+a2+a3+a4+a5)=16a1+a2+2a3+4a4+8a5;⋅80(16k−5)a1+(16k−5)a2+(16k−10)a3+(16k−20)a4+(16k−40)a5=0. При k⩾3 все коэффициенты положительны, то есть аналогично пункту б) равенство невозможно. Приведём пример для k=2:a1=1,a2=3,a3=2,a4=4,a5=25. Тогда у Юры:
51(1+2+3+4+5)=7, а у Полины
161+3+2⋅2+4⋅4+8⋅25=14.
