На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное,
либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна
1255.
а) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число?
б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?
Решение
а) Да, если взять числа
5,15,25,35,45,55,65,2,4,6,…,60,80.
б) Минимальная сумма 35 чётных чисел равна
S1=22⋅2+2⋅34⋅35=36⋅35=1260>1255, получаем противоречие.
в) При количестве чисел, оканчивающихся на 5, меньше трёх, минимальная сумма оставшихся чётных чисел будет больше 1260, противоречие пункта б) сохраняется.
4 числа, оканчивающихся на 5, быть не может, так как сумма 34 чётных и 4 чётных чисел с пятёркой на конце всегда чётная.
Приведём пример для 5 чисел:
5,15,25,35,45,2,4,6,…,64,74.
