На доске написано некоторое количество… — Теория чисел — ЕГЭ

Теория чиселЕГЭ 2026 (Основная волна)

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на~5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Решение

а) Пусть на доске было

n

двузначных чисел, а их сумма равна

S_1

. Сумма полученных чисел

S_2

.
Пусть количество чисел, с которыми выполнили первую операцию, равно

k

, тогда вторую операцию выполнили с

(n-k)

числами.
Если выполнить первую операцию с числом

ab=10a+b

, то оно превратиться в число равное

10(a+2)+b-5=10a+b+15

, а если к числу

ab=10a+b

применить вторую операцию, то оно станет равным

10(a-2)+b+2=10a+b-18

.
Заметим, что в результате первой операции число увеличивается на 15, а в результате второй уменьшается на 18.
Тогда разность сумм получившихся чисел и исходных будет равна

S_2-S_1=15k-18(n-k)=15k-18n+18k=33k-18n=3(11k-6n).

Так как числа

k,~n

целые, то полученная разность делится на 3, а число 128 не кратно 3. Получили противоречие. Такого быть не может.

б) Пусть условие выполняется, тогда

n=25

S_1=S_2

.
Тогда из полученного в пункте а) получим

S_2-S_1=3(11k-6\cdot25)=0.

Тогда

11k-150=0,~ k=\dfrac{150}{11}

что противоречит условию

k

-- целое число. Следовательно, такое невозможно.

в) Пусть

S_1=S_2<1198

. Найдём наибольшее возможное

n

. Запишем разность сумм, полученную в а):

S_2-S_1=3(11k-6\cdot n)=0.

n=\dfrac{11k}{6}

, так как

k

-- целое число, то оно должно быть кратно 6. Возьмём

k=6t

t

-- целое, тогда

n=\dfrac{11\cdot 6t}{6}=11t

n-k=11t-6t=5t

.

Каждое из чисел, записанных на доске, от 10 до 99, при этом если к числу

x

применяем операцию 1, то число единиц этого числа не может быть меньше 5, а число десятков не может быть больше 7, а если операцию 2, то число единиц этого числа не может быть больше 7, а число десятков не может быть меньше 3.

Для того, чтобы чисел было как можно больше, сами числа должны быть как можно меньше, поэтому возьмём для первой операции все числа равные 15, а для второй только 30.
Их исходная сумма будет равна

S_1=15\cdot6t+30\cdot5t=90t+150t=240t

.

Учтём ограничение, что каждая из сумм

S_1

S_2

должна быть меньше 1198, получим

240t<1198,~~t<\dfrac{1198}{240}=4\dfrac{238}{240}.

Самое большое целое значение

t

, удовлетворяющее этому неравенству, равно 4.
Убедимся, что оно подходит:

t=4

, тогда

n=11t=44

k=6t=24

n-k=5t=20

.

Возьмём:
-- 24 чисел по 15 (для операции 1) преобразуются в 30;
-- 20 чисел по 30 (для операции 2) преобразуются в 12.

Все исходные числа -- двузначные (15 и 30), все полученные после преобразований -- двузначные (30 и 12).
Сумма исходных:

S_1=15\cdot24+30\cdot20=960

.
Сумма полученных:

S_2=30\cdot24+12\cdot20=960

.
Равенство выполнено.

Значит, наибольшее количество чисел, записанных на доске 24+20=44.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 44.