Динамика: Полый конус с углом при вершине 2 вращается с угловой скоростью вокруг · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Полый конус с углом при вершине 2 $\alpha$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен $\mu$ . При каком максимальном расстоянии $L$ от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.

Решение

Обоснование.

1. СО, связанную с Землёй, считаем инерциальной.

2. Размеры шайбы малы по сравнению с размерами конуса, поэтому считаем её материальной точкой.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. Шайба равномерно движется по окружности, поэтому

a=\omega^2r

; ускорение направлено к оси конуса.

5. Относительного скольжения нет:

f\le\mu N

. В предельном случае

f=\mu N

; контакт требует

N>0

.

Решение.

Радиус окружности

r=L\sin\alpha

. Обозначим нормальную реакцию через

N

, трение — через

f

. Ось

x

направим горизонтально к оси конуса, ось

y

— вверх. Трение направлено вверх вдоль образующей. Второй закон Ньютона:

f\sin\alpha-N\cos\alpha=m\omega^2L\sin\alpha,\qquad N\sin\alpha+f\cos\alpha=mg.

Решение этой системы:

f=m(g\cos\alpha+\omega^2L\sin^2\alpha),

N=m\sin\alpha(g-\omega^2L\cos\alpha).

Контакт возможен при

N>0

; условие неподвижности относительно конуса:

f\le\mu N

. При

\omega>0

предельное расстояние определяется равенством

f=\mu N

L_{\max}=\frac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\omega^2\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.

Положительное расстояние возможно при

\mu>\cot\alpha

. При

\omega=0

\mu\ge\cot\alpha

ограничение на расстояние задают только размеры конуса.

Рисунок 1 (решение) к задаче 72 подборки «Задание 26»

Динамика: Полый конус с углом при вершине 2 вращается с угловой скоростью вокруг · ЕГЭ №26

Похожие задачи