Динамика: Имеется недеформированная пружина длиной = 20 см; 0,3, 20 см, 30, 0,2 · ЕГЭ №26

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по механике с обоснованием моделиПрофиматика

Имеется недеформированная пружина длиной $L$ = 20 см и жёсткостью $k =$ 30 Н/м, груз массой $m$ = 0,2 кг, а также вращающийся с частотой $\nu$ $=$ 1 Гц массивный диск. На каком максимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском $\mu$ $=$ 0,3. Размерами груза пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на груз.

Решение

Обоснование.

1. СО, связанную с Землёй, считаем инерциальной.

2. Размерами груза пренебрегаем по условию; считаем его материальной точкой.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. Груз равномерно движется по окружности:

a=\omega^2r

, ускорение направлено к центру диска.

5. Пружина упругая; применим закон Гука:

F_s=k(r-L)

.

6. Скольжения относительно диска нет:

|f|\le\mu N

. На максимальном расстоянии достигается предельное трение.

Решение.

Пусть

r

— расстояние до центра. По вертикали

N=mg

. Угловая скорость

\omega=2\pi\nu

. При растянутой пружине сила

k(r-L)

направлена к центру. Обозначим проекцию трения к центру через

f_r

k(r-L)+f_r=m\omega^2r,\qquad f_r=kL-(k-m\omega^2)r.

Здесь

k-m\omega^2=30-0{,}2\cdot4\pi^2>0

. При увеличении

r

пружина становится слишком сильной; на максимальном расстоянии трение направлено от центра, то есть

f_r=-\mu mg

. Поэтому

r_{\max}=\frac{kL+\mu mg}{k-m\omega^2} =\frac{30\cdot0{,}20+0{,}3\cdot0{,}2\cdot10}{30-0{,}2\cdot4\pi^2} \approx0{,}299\ \text{м}.

Рисунок 1 (решение) к задаче 10 подборки «Задание 26»

Динамика: Имеется недеформированная пружина длиной = 20 см; 0,3, 20 см, 30, 0,2 · ЕГЭ №26

Похожие задачи