На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ:
Решение
Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Выберем две точки на касательной, координаты которых легко определяются по рисунку: A(−2;−2) и B(−5;7). Также отметим точку C(−5;−2).
Треугольник ABC является прямоугольным и f(x) убывает в точке x0, значит, угловой коэффициент касательной мы можем найти как тангенс угла 180∘−∠CAB: f′(x0)=tg(180∘−∠CAB)=−tg∠CAB= =−ACBC=−(−2)−(−5)7−(−2)=−39=3. Ответ: −3.
