Последовательности и прогрессии — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2026 (резерв)

Дана конечная последовательность натуральных чисел. Каждое из чисел последовательности не меньше

80

, но не больше

170

. Каждый следующий член последовательности либо на

2

меньше, чем предыдущий, либо делится на предыдущий. Последовательность может содержать одинаковые числа.

а) Может ли быть

40

различных чисел в такой последовательности?

б) Может ли быть

80

различных чисел в такой последовательности?

в) Какое наибольшее количество различных чисел может быть в такой последовательности?

Решение

а) Да, приведём пример:

170, 168,\ldots, 94, 92,

в этой последовательности

40

чисел.

б) Да, приведём пример:

169, 167, \ldots, 81, 162, 160,\ldots, 94.

В этой последовательности

80

чисел.

в) После появления в последовательности чётного числа, все остальные числа будут чётные. Это происходит потому, что кратное предыдущему следующее появляется только в следующих парах:

80 \text{ и } 160;\quad 81 \text{ и } 162;\quad 82 \text{ и } 164;\quad 83 \text{ и } 166;\quad 84 \text{ и } 168;\quad 85 \text{ и } 170.

В каждой из этих пар следующее число является чётным. Вычитание

2

также сохраняет чётность.

Если мы хотим получить число

170

из нечётного, то нечётные числа должны заканчиваться на

85

. Тогда мы можем получить не более

89

чисел. Приведём пример, когда мы можем получить

90

чисел:

169, 167, \ldots, 81, 162, 160, \ldots, 84, 168, 166, \ldots, 80.

То есть либо в нашей последовательности есть число

170

и тогда всего имеем не более

89

различных чисел в последовательности, либо нет числа

170

и тогда всего имеем не более

90

различных чисел в последовательности.

Ответ: а) да; б) да; в)

90

Последовательности и прогрессии — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи