Дана конечная последовательность натуральных чисел. Каждое из чисел последовательности не меньше 80, но не больше 170. Каждый следующий член последовательности либо на 2 меньше, чем предыдущий, либо делится на предыдущий. Последовательность может содержать одинаковые числа.
а) Может ли быть 40 различных чисел в такой последовательности?
б) Может ли быть 80 различных чисел в такой последовательности?
в) Какое наибольшее количество различных чисел может быть в такой последовательности?
Решение
а) Да, приведём пример:
170,168,…,94,92, в этой последовательности 40 чисел.
б) Да, приведём пример:
169,167,…,81,162,160,…,94. В этой последовательности 80 чисел.
в) После появления в последовательности чётного числа, все остальные числа будут чётные. Это происходит потому, что кратное предыдущему следующее появляется только в следующих парах:
80и160;81и162;82и164;83и166;84и168;85и170. В каждой из этих пар следующее число является чётным. Вычитание 2 также сохраняет чётность.
Если мы хотим получить число 170 из нечётного, то нечётные числа должны заканчиваться на 85. Тогда мы можем получить не более 89 чисел. Приведём пример, когда мы можем получить 90 чисел:
169,167,…,81,162,160,…,84,168,166,…,80. То есть либо в нашей последовательности есть число 170 и тогда всего имеем не более 89 различных чисел в последовательности, либо нет числа 170 и тогда всего имеем не более 90 различных чисел в последовательности.
