Пусть {an} -- последовательность натуральных чисел.
Обозначим M<C(an) -- среднее арифметическое всех членов последовательности {an}, которые меньше некоторого числа C. Число C лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности.
Обозначим M⩾C(an) -- среднее арифметическое всех членов последовательности {an}, которые больше или равны C. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу.
Затем к каждому члену последовательности {an} прибавили 4 и получили новую последовательность,
которую обозначили {an+4}.
а) Существует ли последовательность {an}, состоящая из трёх членов,
для которой M<79(an+4)<M<79(an)?
б) Существует ли последовательность {an}, состоящая из трёх членов,
для которой
M<79(an+4)<M<79(an) и M⩾79(an+4)<M⩾79(an)?
в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {an} равняется 84,M⩾79(an)=94,M<79(an)=70, M⩾79(an+4)=96 и M<79(an+4)=72. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности {an}?
Решение
а) Да, если {an}={1;78;80}, то {an+4}={5;82;84},M<79(an)=39,5,M⩾79(an+4)=5.
б) Да, если {an}={1;78;1000}, то {an+4}={5;82;1004},M<79(an)=39,5,M<79(an+4)=5,M⩾79(an)=1000 и M⩾79(an+4)=543.
в) Среднее арифметическое последовательности {an} равно 84, значит, среднее арифметическое последовательности {an+4} равно 88. Пусть всего чисел N,k чисел из {an} не меньше 79,N−k чисел из {an} меньше 79,t чисел из {an+4} не меньше 79 и N−t чисел из {an+4} меньше 79.
С одной стороны, сумма всех чисел {an} равна 84N=94k+70(N−k), то есть 7N=12k.
С другой стороны, сумма всех чисел {an+4} равна 88N=96t+72(N−t), то есть 2N=3t.
Значит, N должно делиться на 12, то есть Nmin=12.
