Задание 20 — Числа и их свойства

Последовательности и прогрессии

Задачи подтемы с ответами и разборами

Задача 1ЕГЭ 2026 (резерв)

Дана конечная последовательность натуральных чисел. Каждое из чисел последовательности не меньше

80

, но не больше

170

. Каждый следующий член последовательности либо на

2

меньше, чем предыдущий, либо делится на предыдущий. Последовательность может содержать одинаковые числа.

а) Может ли быть

40

различных чисел в такой последовательности?

б) Может ли быть

80

различных чисел в такой последовательности?

в) Какое наибольшее количество различных чисел может быть в такой последовательности?

Ответ:

Задача 2ЕГКР 06.04.2023

Бесконечная геометрическая прогрессия

b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots

состоит из различных натуральных чисел. Пусть

S_1=b_1

S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n

при всех

n \geqslant 2

.

a) Существует ли такая прогрессия. среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно два числа делятся на

40

?

б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно три числа делятся на

40

?

в) Какое наибольшее количество чисел среди

S_1, S_2, \ldots, S_8

может делиться на

40

, если известно, что

S_1

на

40

не делится?

Ответ:

Задача 3ЕГКР 16.12.2025

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей
из трёхзначных натуральных чисел, равен

304

. Известно, что в этой
прогрессии не меньше трёх членов.

а) Может ли число

380

являться членом такой геометрической прогрессии?

б) Может ли число

760

являться членом такой геометрической прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической
прогрессии?

Ответ:

Задача 4ЕГКР 03.12.22

Пусть

\{a_n\}

— последовательность натуральных чисел.
Обозначим

M_{\lt C}(a_n)

— среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

, которые меньше некоторого числа

C

. Число

C

лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности.
Обозначим

M_{\geqslant C}(a_n)

— среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

, которые больше или равны

C

.
Среднее арифметическое одного числа равно самому числу.
Затем к каждому члену последовательности

\{a_n\}

прибавили

4

и получили новую последовательность,
которую обозначили

\{a_n + 4\}

.

а) Существует ли последовательность

\{a_n\}

, состоящая из трёх членов,
для которой

M_{\lt 79}(a_n + 4) < M_{\lt 79}(a_n)

?

б) Существует ли последовательность

\{a_n\}

, состоящая из трёх членов,
для которой

M_{\lt 79}(a_n + 4) < M_{\lt 79}(a_n)

M_{\geqslant 79}(a_n + 4) < M_{\geqslant 79}(a_n)

?

в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

равняется

84

M_{\geqslant 79}(a_n) = 94

M_{\lt 79}(a_n) = 70

M_{\geqslant 79}(a_n + 4) = 96

M_{\lt 79}(a_n + 4) = 72

. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности

\{a_n\}

Ответ:

Задача 5ФИПИ

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли

S

быть равной

16\frac{5}{6}

?
б) Может ли

S

быть равной

569\frac{29}{126}

?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Ответ:

Показано 5 из 5 задач

Задание 20 — Числа и их свойства

Последовательности и прогрессии

Задачи подтемы с ответами и разборами

Задача 1ЕГЭ 2026 (резерв)

Дана конечная последовательность натуральных чисел. Каждое из чисел последовательности не меньше

80

, но не больше

170

. Каждый следующий член последовательности либо на

2

40

различных чисел в такой последовательности?

б) Может ли быть

80

Ответ:

Задача 2ЕГКР 06.04.2023

Бесконечная геометрическая прогрессия

b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots

состоит из различных натуральных чисел. Пусть

S_1=b_1

S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n

при всех

n \geqslant 2

.

a) Существует ли такая прогрессия. среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно два числа делятся на

40

?

б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно три числа делятся на

40

?

в) Какое наибольшее количество чисел среди

S_1, S_2, \ldots, S_8

может делиться на

40

, если известно, что

S_1

на

40

не делится?

Ответ:

Задача 3ЕГКР 16.12.2025

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей
из трёхзначных натуральных чисел, равен

304

. Известно, что в этой
прогрессии не меньше трёх членов.

а) Может ли число

380

являться членом такой геометрической прогрессии?

б) Может ли число

760

Ответ:

Задача 4ЕГКР 03.12.22

Пусть

\{a_n\}

— последовательность натуральных чисел.
Обозначим

M_{\lt C}(a_n)

— среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

, которые меньше некоторого числа

C

. Число

C

лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности.
Обозначим

M_{\geqslant C}(a_n)

— среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

, которые больше или равны

C

.
Среднее арифметическое одного числа равно самому числу.
Затем к каждому члену последовательности

\{a_n\}

прибавили

4

и получили новую последовательность,
которую обозначили

\{a_n + 4\}

.

а) Существует ли последовательность

\{a_n\}

, состоящая из трёх членов,
для которой

M_{\lt 79}(a_n + 4) < M_{\lt 79}(a_n)

?

б) Существует ли последовательность

\{a_n\}

, состоящая из трёх членов,
для которой

M_{\lt 79}(a_n + 4) < M_{\lt 79}(a_n)

M_{\geqslant 79}(a_n + 4) < M_{\geqslant 79}(a_n)

?

в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности

\{a_n\}

равняется

84

M_{\geqslant 79}(a_n) = 94

M_{\lt 79}(a_n) = 70

M_{\geqslant 79}(a_n + 4) = 96

M_{\lt 79}(a_n + 4) = 72

. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности

\{a_n\}

Ответ:

Задача 5ФИПИ

S

быть равной

16\frac{5}{6}

?
б) Может ли

S

быть равной

569\frac{29}{126}

?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Ответ:

Показано 5 из 5 задач