Последовательности и прогрессии

Дана конечная последовательность натуральных чисел. Каждое из чисел последовательности не меньше 80, но не больше 170. Каждый следующий член последовательности либо на 2 меньше, чем предыдущий, либо делится на предыдущий. Последовательность может содержать одинаковые числа. а) Может ли быть 40 различных чисел в такой последовательности? б) Может ли быть 80 различных чисел в такой последовательности? в) Какое наибольшее количество различных чисел может быть в такой последовательности?

Бесконечная геометрическая прогрессия b_1, b_2, …, b_n, … состоит из различных натуральных чисел. Пусть S_1=b_1 и S_n=b_1+b_2+…+b_n при всех n ⩾ 2. a) Существует ли такая прогрессия. среди чисел S_1, S_2, S_3, S_4 которой ровно два числа делятся на 40? б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S_1, S_2, S_3, S_4 которой ровно три числа делятся на 40? в) Какое наибольшее количество чисел среди S_1, S_2, …, S_8 может делиться на 40 , если известно, что S_1 на 40 не делится?

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 304. Известно, что в этой прогрессии не меньше трёх членов. а) Может ли число 380 являться членом такой геометрической прогрессии? б) Может ли число 760 являться членом такой геометрической прогрессии? в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической прогрессии?

Пусть {a_n} – последовательность натуральных чисел. Обозначим M_ C(a_n) – среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые меньше некоторого числа C. Число C лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности. Обозначим M_⩾ C(a_n) – среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые больше или равны C. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу. Затем к каждому члену последовательности {a_n} прибавили 4 и получили новую последовательность, которую обозначили {a_n + 4}. а) Существует ли последовательность {a_n}, состоящая из трёх членов, для которой M_ 79(a_n + 4) < M_ 79(a_n)? б) Существует ли последовательность {a_n}, состоящая из трёх членов, для которой M_ 79(a_n + 4) < M_ 79(a_n) и M_⩾ 79(a_n + 4) < M_⩾ 79(a_n)? в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n} равняется 84, M_⩾ 79(a_n) = 94, M_ 79(a_n) = 70, M_⩾ 79(a_n + 4) = 96 и M_ 79(a_n + 4) = 72. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности {a_n}?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S. а) Может ли S быть равной 165/6? б) Может ли S быть равной 56929/126? в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.