Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 1665? б) Может ли S быть равной 56912629? в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Решение
а) Рассмотрим четыре последовательных числа, оканчивающихся не на 0. Например, 12, 13, 14, 15. Тогда:
212=6,313=431,414=321,515=3. Сумма: 6+431+321+3=16+31+21=1665. Значит, S=1665 возможно.
б) Заметим, что знаменатель 126 в дробной части суммы раскладывается на множители: 126=2⋅9⋅7. Чтобы в сумме дробей с разными знаменателями получился знаменатель 126, среди исходных чисел должны быть такие, среди знаменателей обязательно должна быть девятка, т.е. нам подходит только набор вида …6,…7,…8,…9.
Рассмотрим числа вида 10x+6,10x+7,10x+8,10x+9, где x — целое неотрицательное (десятки). Тогда:
S=610x+6+710x+7+810x+8+910x+9. Выделим целую часть в каждой дроби:
610x+6=610x+1,710x+7=710x+1,810x+8=810x+1,910x+9=910x+1. Тогда
S=10x(61+71+81+91)+4. Вычислим сумму дробей:
61+71+81+91=50484+50472+50463+50456=504275. Таким образом,
S=10x⋅504275+4. По условию S=56912629. Приравняем:
10x⋅504275+4=56912629⇒10x⋅504275=56512629. Умножим обе части на 504:
2750x=565⋅504+29⋅4. Слева стоит число, оканчивающееся нулем, справа первое слагаемое (565⋅504) также оканчивается нулем, в то время как 29⋅4 не оканчивается нулем, а, значит, для любого целого x уравнение не имеет решений.
в) Рассмотрим трёхзначные числа, оканчивающиеся не на 0. Чтобы получить наибольшее целое S, нужно взять наименьшие возможные знаменатели (последние цифры), так как тогда каждое слагаемое будет наибольшим. Наименьшие последние цифры — 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим числа вида 10x+1,10x+2,10x+3,10x+4, где x — число десятков.
Вычислим S: S=110x+1+210x+2+310x+3+410x+4. Приводим все к общему знаменателю:
12250x+48=6125x+4∈Z Нам нужно, чтобы S было целым, значит, найдем наибольший x, который бы делился на 6 и удовлетворял условию трёхзначности числа. Наибольший такой x=96. Подставляем:
S=6125⋅96+4=2004 Докажем, что это максимально возможный S:
При любых знаменателях, больших двух, любое трехзначное число, деленное на этот знаменатель, будет меньше 500, а сумма четырех таких чисел будет меньше 4⋅500=2000, тогда, 2004 и есть ответ.
