Последовательности и прогрессии — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чисел

ФИПИ

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли

S

быть равной

16\frac{5}{6}

?
б) Может ли

S

быть равной

569\frac{29}{126}

?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Решение

а) Рассмотрим четыре последовательных числа, оканчивающихся не на 0. Например, 12, 13, 14, 15. Тогда:

\frac{12}{2} = 6,\quad \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3},\quad \frac{14}{4} = 3\frac{1}{2},\quad \frac{15}{5} = 3.

Сумма:

6 + 4\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{1}{2} + 3 = 16 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = 16\dfrac{5}{6}

. Значит,

S = 16\dfrac{5}{6}

возможно.

б) Заметим, что знаменатель 126 в дробной части суммы раскладывается на множители:

126 = 2 \cdot 9 \cdot 7

. Чтобы в сумме дробей с разными знаменателями получился знаменатель 126, среди исходных чисел должны быть такие, среди знаменателей обязательно должна быть девятка, т.е. нам подходит только набор вида

\dots6,\; \dots 7, \; \dots 8, \; \dots 9

.

Рассмотрим числа вида

10x + 6

10x + 7

10x + 8

10x + 9

, где

x

— целое неотрицательное (десятки). Тогда:

S = \frac{10x+6}{6} + \frac{10x+7}{7} + \frac{10x+8}{8} + \frac{10x+9}{9}.

Выделим целую часть в каждой дроби:

\frac{10x+6}{6} = \frac{10x}{6} + 1,\quad \frac{10x+7}{7} = \frac{10x}{7} + 1,\quad \frac{10x+8}{8} = \frac{10x}{8} + 1,\quad \frac{10x+9}{9} = \frac{10x}{9} + 1.

Тогда

S = 10x\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9}\right) + 4.

Вычислим сумму дробей:

\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{84}{504} + \frac{72}{504} + \frac{63}{504} + \frac{56}{504} = \frac{275}{504}.

Таким образом,

S = 10x \cdot \frac{275}{504} + 4.

По условию

S = 569\dfrac{29}{126}

.
Приравняем:

10x \cdot \frac{275}{504} + 4 = 569\frac{29}{126} \Rightarrow 10x \cdot \frac{275}{504} = 565\frac{29}{126}.

Умножим обе части на 504:

2750x = 565 \cdot 504 + 29 \cdot 4.

Слева стоит число, оканчивающееся нулем, справа первое слагаемое (

565 \cdot 504

) также оканчивается нулем, в то время как

29 \cdot 4

не оканчивается нулем, а, значит, для любого целого

x

уравнение не имеет решений.

в) Рассмотрим трёхзначные числа, оканчивающиеся не на 0. Чтобы получить наибольшее целое

S

, нужно взять наименьшие возможные знаменатели (последние цифры), так как тогда каждое слагаемое будет наибольшим. Наименьшие последние цифры — 1, 2, 3, 4.

Рассмотрим числа вида

10x + 1

10x + 2

10x + 3

10x + 4

, где

x

— число десятков.

Вычислим

S

S = \frac{10x+1}{1} + \frac{10x+2}{2} + \frac{10x+3}{3} + \frac{10x+4}{4}.

Приводим все к общему знаменателю:

\frac{250x + 48}{12} = \frac{125x}{6} + 4 \in \mathbb{Z}

Нам нужно, чтобы

S

было целым, значит, найдем наибольший

x

, который бы делился на

6

и удовлетворял условию трёхзначности числа. Наибольший такой

x = 96

. Подставляем:

S = \frac{125 \cdot 96 }{6} + 4 = 2004

Докажем, что это максимально возможный

S

:

При любых знаменателях, больших двух, любое трехзначное число, деленное на этот знаменатель, будет меньше

500

, а сумма четырех таких чисел будет меньше

4 \cdot 500 = 2000

, тогда,

2004

и есть ответ.

Ответ: а) да; б) нет; в)

2004.

Последовательности и прогрессии — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи