Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Теория чисел
ЕГКР 06.04.2023
Скопировать ссылку
56a4ea29
Бесконечная геометрическая прогрессия
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
,
…
b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
,
…
состоит из различных натуральных чисел. Пусть
S
1
=
b
1
S_1=b_1
S
1
=
b
1
и
S
n
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
n
S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n
S
n
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
n
при всех
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
.
a) Существует ли такая прогрессия. среди чисел
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
S_1, S_2, S_3, S_4
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
которой ровно два числа делятся на 40?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
S_1, S_2, S_3, S_4
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
которой ровно три числа делятся на 40?
в) Какое наибольшее количество чисел среди
S
1
,
S
2
,
…
,
S
8
S_1, S_2, \ldots, S_8
S
1
,
S
2
,
…
,
S
8
может делиться на 40 , если известно, что
S
1
S_1
S
1
на 40 не делится?
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Пусть
q
q
q
-- знаменатель прогрессии. Тогда
S
1
=
b
1
S_1 = b_1
S
1
=
b
1
,
S
2
=
b
1
(
1
+
q
)
S_2 = b_1(1+q)
S
2
=
b
1
(
1
+
q
)
,
S
3
=
b
1
(
1
+
q
+
q
2
)
S_3 = b_1(1+q+q^2)
S
3
=
b
1
(
1
+
q
+
q
2
)
,
S
4
=
b
1
(
1
+
q
+
q
2
+
q
3
)
S_4 = b_1(1+q+q^2+q^3)
S
4
=
b
1
(
1
+
q
+
q
2
+
q
3
)
.
а) Да, например, если
b
1
=
1
b_1 = 1
b
1
=
1
,
q
=
39
q = 39
q
=
39
,
то
S
1
=
1
S_1 = 1
S
1
=
1
,
S
2
=
40
S_2 = 40
S
2
=
40
,
S
3
=
1561
S_3 = 1561
S
3
=
1561
,
S
4
=
60880
S_4 = 60880
S
4
=
60880
,
из них
S
2
S_2
S
2
и
S
4
S_4
S
4
делятся на 40.
б) Знаменатель прогрессии -- это натуральное число, значит:
1) Если
b
1
b_1
b
1
делится на 40, то
S
1
S_1
S
1
,
S
2
S_2
S
2
,
S
3
S_3
S
3
,
S
4
S_4
S
4
кратны 40.
2) Если
b
1
b_1
b
1
не делится на 40, то
S
2
S_2
S
2
,
S
3
S_3
S
3
,
S
4
S_4
S
4
должны быть кратны 40.
Заметим, что
S
4
=
b
1
(
1
+
q
)
(
q
2
+
1
)
S_4 = b_1(1+q)(q^2+1)
S
4
=
b
1
(
1
+
q
)
(
q
2
+
1
)
,
S
2
=
b
1
(
1
+
q
)
S_2 = b_1(1+q)
S
2
=
b
1
(
1
+
q
)
,
значит, если
S
2
S_2
S
2
кратно 40, то и
S
4
S_4
S
4
будет кратно 40.
Пусть
S
3
S_3
S
3
кратно 40, тогда
S
3
−
q
S
2
=
b
1
+
b
1
q
+
b
1
q
2
−
b
1
q
−
b
1
q
2
=
b
1
.
S_3 - qS_2 = b_1 + b_1q + b_1q^2 - b_1q - b_1q^2 = b_1.
S
3
−
q
S
2
=
b
1
+
b
1
q
+
b
1
q
2
−
b
1
q
−
b
1
q
2
=
b
1
.
Но
b
1
b_1
b
1
не кратно 40, получили противоречие.
в) Заметим, что если
S
1
S_1
S
1
не кратно 40, то две соседние суммы не кратны 40. Докажем это.
S
k
+
1
−
q
S
k
=
b
1
+
b
1
q
+
b
1
q
2
+
…
+
b
1
q
k
−
b
1
q
−
b
1
q
2
−
…
−
b
1
q
k
=
b
1
,
S_{k+1} - qS_k = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \ldots + b_1q^k - b_1q - b_1q^2- \ldots - b_1q^k = b_1,
S
k
+
1
−
q
S
k
=
b
1
+
b
1
q
+
b
1
q
2
+
…
+
b
1
q
k
−
b
1
q
−
b
1
q
2
−
…
−
b
1
q
k
=
b
1
,
а
b
1
b_1
b
1
не кратно 40.
Значит, максимальное число сумм, делящихся на 40, равно четырём. Например:
b
1
=
1
,
q
=
39
b_1 = 1, q = 39
b
1
=
1
,
q
=
39
.
S
1
=
1
−
нечётная
;
S_1 = 1 - \text{нечётная};
S
1
=
1
−
нечётная
;
S
2
=
1
+
39
=
40
−
кратно 40
;
S_2 = 1 + 39 = 40 - \text{кратно 40};
S
2
=
1
+
39
=
40
−
кратно
40
;
S
3
=
1
+
39
+
39
2
−
нечётная
;
S_3 = 1 + 39 + 39^2 - \text{нечётная};
S
3
=
1
+
39
+
3
9
2
−
нечётная
;
S
4
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
39
2
)
=
40
(
1
+
39
2
)
−
кратно 40
;
S_4 = 1(1+39)(1+39^2) = 40(1+39^2) - \text{кратно 40};
S
4
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
3
9
2
)
=
40
(
1
+
3
9
2
)
−
кратно
40
;
S
5
=
1
+
39
+
39
2
+
39
3
+
39
4
−
нечётная
;
S_5 = 1 + 39 + 39^2 + 39^3 + 39^4 - \text{нечётная};
S
5
=
1
+
39
+
3
9
2
+
3
9
3
+
3
9
4
−
нечётная
;
S
6
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
39
2
+
39
4
)
=
40
(
1
+
39
2
+
39
4
)
−
кратно 40
;
S_6 = 1(1+39)(1+39^2+39^4) = 40(1+39^2+39^4) - \text{кратно 40};
S
6
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
3
9
2
+
3
9
4
)
=
40
(
1
+
3
9
2
+
3
9
4
)
−
кратно
40
;
S
7
=
1
+
39
+
39
2
+
39
3
+
39
4
+
39
5
+
39
6
−
нечётная
;
S_7 = 1 + 39 + 39^2 + 39^3 + 39^4 + 39^5 + 39^6 - \text{нечётная};
S
7
=
1
+
39
+
3
9
2
+
3
9
3
+
3
9
4
+
3
9
5
+
3
9
6
−
нечётная
;
S
8
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
39
2
+
39
4
+
39
6
)
=
40
(
1
+
39
2
+
39
4
+
39
6
)
−
кратно 40
.
S_8 = 1(1+39)(1+39^2+39^4+39^6) = 40(1+39^2+39^4+39^6) - \text{кратно 40}.
S
8
=
1
(
1
+
39
)
(
1
+
3
9
2
+
3
9
4
+
3
9
6
)
=
40
(
1
+
3
9
2
+
3
9
4
+
3
9
6
)
−
кратно
40
.
Ответ: а) да, б) нет, в) 4.
